kornil / ФУБ семестр 2 / Высшая математика 2 семестр / TEMA6 / Примеры3
.docТема 6. Примеры
,
Неопределенные интегралы №№ 7, 8 представляют собой интегралы от рациональных дробей. В теоретической части приведена схема интегрирования, которой следует придерживаться при выполнении задания.
Схема интегрирования рациональной дроби
Правильная или неправильная дробь?
Неправильная. |
Правильная. |
Выделить целую часть, т.е. представить дробь как сумму многочлена и правильной рациональной дроби. |
|
,ПРИМЕРЫ
|
Рациональная дробь под знаком интеграла правильная, так как , . |
||||
Разложим знаменатель по корням: , корни квадратного трехчлена . |
Дробь несократима, так как числитель не обращается в ноль ни при одном из корней знаменателя (). Проверяется устно, например . |
||||
Представим рациональную дробь как сумму элементарных дробей. В разложении только дроби типов (а) и (б), т.к. в знаменателе нет комплексных корней. |
|||||
Приведем элементарные дроби к общему знаменателю и приравняем числители исходной дроби и суммы элементарных. |
|||||
Для определения коэффициентов разложения сначала используем 1 способ. Подставим в равенство поочередно действительные корни знаменателя. Сразу получены три коэффициента. |
|||||
Для определения В используем 2 способ. Требуется только одно уравнение, поэтому приравняем коэффициенты при наибольшей степени х : . |
|||||
Представим в виде суммы интегралов и вычислим каждый. |
|||||
Внесение под знак дифференциала |
|||||
Используем свойства логарифмов. |
|||||
|
|
Рациональная дробь под знаком интеграла правильная, так как , . |
|||||
Знаменатель разложен по корням, причем имеет два действительных корня и два комплексно-сопряженных . |
Дробь несократима, так как числитель не обращается в ноль ни при одном из корней знаменателя. |
|||||
Представим рациональную дробь как сумму элементарных дробей. В разложении дроби типов (а), (б) и (в) т.к. в знаменателе есть комплексные корни. |
||||||
Приведем элементарные дроби к общему знаменателю и приравняем числители исходной дроби и суммы элементарных дробей. |
||||||
Для определения коэффициентов разложения сначала используем 1 способ. Подставим в равенство поочередно действительные корни знаменателя. Сразу получены два коэффициента. |
||||||
|
Для определения В,С используем 2 способ. Требуются два уравнения, приравняем коэффициенты при наибольших степенях х: и . Для этого раскроем скобки в равенстве числителей. |
|||||
= |
Подставим найденные коэффициенты, представим в виде суммы интегралов. |
|||||
Для второго интеграла: , для последнего . |
||||||
|
|
Рациональная дробь под знаком интеграла правильная, так как , .Знаменатель разложен по корням, дробь несократимая. |
|
|
Представим в виде суммы элементарных дробей. |
|
|
Приведем элементарные дроби к общему знаменателю и приравняем числители исходной дроби и суммы элементарных дробей. |
|
Подставим в равенство поочередно действительные корни знаменателя. Сразу получены два коэффициента. |
||
|
Раскроем скобки в равенстве числителей, чтобы сравнить коэффициенты при одинаковых степенях х. |
|
Требуются два уравнения, приравняем коэффициенты при наибольших степенях х: и . |
||
Подставим найденные коэффициенты, представим в виде суммы интегралов. |
||
|