kornil / ФУБ семестр 2 / Высшая математика 2 семестр / TEMA6 / Примеры1
.docТема 6. Примеры
Примеры выполнения обязательных заданий по теме 6
Задание 1. Найти неопределенные интегралы.
,
Вычисление неопределенных интегралов №№ 1, 2 основано на методе "внесение под знак дифференциала" (см. теорию по теме 6, Методы интегрирования). В теоретической части приведена таблица основных вариантов таких внесений. В объяснениях к примерам приводятся формулы для конкретных случаев.
, ПРИМЕРЫ
|
|
Для
приведения к табличным интегралам
выполняется тождественное преобразование:
|
|
|
Разбиваем
на сумму двух интегралов и вносим под
знак дифференциала
|
|
= = |
Получаем
табличные степенные интегралы вида
|
в числителе функции.
=
.
,
и
.
|
|
Разбиваем интеграл на сумму двух интегралов. |
||
|
= |
Вносим
под знак дифференциала
|
||
|
= |
и
|
||
в первом интеграле
во втором. Получаем табличные интегралы:
логарифмический и степенной,
.
|
|
Здесь
вносим под знак дифференциала
|
.
|
|
К
интегралу вида арксинус приводим,
внося под знак дифференциала
|
.
|
|
Вносим
под знак дифференциала
|
|
|
сумму двух интегралов. |
.
Разбиваем на
|
|
Разбиваем
на сумму двух интегралов. Вносим под
знак дифференциала
|
|
|
Первый
интеграл – степенной,
|
.
,
второй тригонометрический, вида
котангенс.
|
|
Разбиваем на сумму двух интегралов. |
|
|||
|
|
|
Вносим под знак дифференциала в первом интеграле |
|||
|
|
|
|
|||
=
,
во втором:
.
Оба полученных интеграла являются
степенными.
|
|
В числителе стоит производная знаменателя с обратным знаком: |
|
||
|
|
|
|
||
.
После внесения под знак дифференциала
получаем степенной интеграл,
.
|
|
Учтем, что
|
|
|
|
|
дифференциала. Получили логарифмический интеграл. |
||
и
внесем производную под знак
- При выполнении данного задания следует повторить правила вычисления производных, особенно – производных сложных функций.