Дифференциал функции и дифференциал аргумента

Пусть в некоторой точке функция дифференцируема, то есть имеет конечную производную: . Примем без доказательства, что в этом случае приращение функции можно представить в виде:

, где- бесконечно малые величины.

Очевидно, что при таких условиях приращение функции представляет собой БМ (бесконечно малую) величину, состоящую из суммы двух бесконечно малых величин. Выделим ее главную часть, сравнив слагаемые (см. тему 4, сравнение БМ величин).

Так как ,

то - БМ более высокого порядка малости, чем.

Главной частью БМ приращения функции будет (БМ величина эквивалентна своей главной части):

.

 - Дифференциалом функции называют главную, линейную относительно приращения аргумента, часть бесконечно малого приращения функции.

Дифференциал обозначается латинской буквой d. Если учесть, что дифференциал аргумента совпадает с его БМ приращением:, то получим формулу для вычисления дифференциала функции:

 - .

Из этого выражения - производная в дифференциальном виде, обозначение, введенное Лейбницем.

Для вычисления дифференциалов функций применяются все те же правила, что и для вычисления производной.

1		Дифференциал постоянной равен нулю:
2		Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов этих функций:
3		Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций:
4		Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:
5		Дифференциал частного двух дифференцируемых функций (при условии, что V0):

Главным свойством дифференциала функции является инвариантность, неизменность его формы. Пусть задана функция y=f(x), где x=, т.е. y=f() является сложной функцией. Предположим, что f и - дифференцируемые функции. Вычислимdy:

.

Таким образом, дифференциал функции выражается одной и той же формулой как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции. Именно это свойство дифференциала называют инвариантностью формулы (или формы) дифференциала.

Следует обратить внимание на то, что инвариантна (неизменна) именно форма дифференциала, так как в содержании формулы дифференциала функции от функции есть существенное отличие от содержания формулы дифференциала функции от независимой переменной. Так, в формуле ,dx есть не только дифференциал, но и приращение аргументаx, если x - независимая переменная, и dx есть дифференциал x, но не приращение , если аргументx есть в свою очередь функция некоторой переменной t.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция, определенная в некоторой области D, имеет производную во всех точках этой области. Тогда эту производную можно принять за новую функцию: .

Если , определенная в области D, имеет в ней конечную производную, то значения этой производной назовем второй производной функциии обозначим:.

Аналогичным образом вводятся понятия третьей и далее производных. Таким образом, производная любого порядка может быть найдена как производная от производной на порядок меньше.

• -

Определим дифференциал второго порядка как дифференциал от дифференциала первого порядка:

.

Можно показать, что в случае, если х – независимая переменная:

,

где - квадрат дифференциала независимой переменнойх, а- вторая производная (похдважды) функцииу.

Дифференциал любого порядка можно определить как дифференциал от дифференциала на порядок меньше:

 - ,

причем , еслих– независимая переменная. Свойствоминвариантности дифференциалы высших порядков (второго и далее)необладают!

Из последней формулы можно получить так называемое дифференциальное представление производнойn-ого порядка:, к которому мы еще вернемся в темах "Функция нескольких переменных" и "Дифференциальные уравнения".