Тема 5. Теория

Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одного аргумента Приращения функции и аргумента

Пусть х – аргумент (независимая переменная); y=y(x) – функция.

Возьмем фиксированное значение аргументах=х₀ и вычислим значение функции y₀=y(x₀). Теперь произвольным образом зададим приращение (изменение) аргумента и обозначим его  х ( х может быть любого знака).

Аргумент с приращением – это точка х₀+ х. Допустим, в ней также существует значение функции y=y(x₀+ х) (см. рисунок).

Таким образом, при произвольном изменении значения аргумента получено изменение функции, которое называется приращениемзначения функции :

,

и не является произвольным, а зависит от вида функции и величины .

Приращения аргумента и функции могут быть конечными, т.е. выражаться постоянными числами, в этом случае их иногда называют конечными разностями.

В экономике конечные приращения рассматриваются весьма часто. Например, в таблице приведены данные о длине железнодорожной сети некоторого государства. Очевидно, приращение длины сети вычисляется путем вычитания предыдущего значения из последующего.

Будем рассматривать длину ж/д сети как функцию, аргументом которой будет время (годы).

Годы	Длина ж/д на 31.12, тыс.км.	Приращение	Среднегодовой прирост
1993	74,5	76,9-74,5=2,4	2,4/3=0,8
1996	76,9	81,0-76,9=4,1	4,1/4=1,0
2000	81,0	83,5-81,0=2,5	2,5/3=0,8
2003	83,5	84,4-83,5=0,9	0,9/1=0,9
2004	84,4

Само по себе приращение функции (в данном случае длины ж/д) сети) плохо характеризует изменение функции. В нашем примере из того, что 2,5>0,9 нельзя заключить, что сеть росла быстрее в 2000-2003 годах, чем в 2004 г., потому что приращение 2,5 относится к трехлетнему периоду, а 0,9 – всего к одному году. Поэтому вполне естественно, что приращение функции приводят к единице изменения аргумента. Приращение аргумента здесь – периоды: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1.

Получим то, что в экономической литературе называют среднегодовым приростом.

Можно избежать операции приведения приращения к единице изменения аргумента, если взять значения функции для значений аргумента, отличающихся на единицу, что не всегда возможно.

В математическом анализе, в частности, в дифференциальном исчислении, рассматривают бесконечно малые (БМ) приращения аргумента и функции.

Дифференцирование функции одной переменной (производная и дифференциал) Производная функции

Приращения аргумента и функции в точке х₀ можно рассматривать как сравнимые бесконечно малые величины (см. тему 4, сравнение БМ), т.е. БМ одного порядка.

Тогда их отношение будет иметь конечный предел, который определяется как производная функции в т х₀.

• Предел отношения приращения функции к БМ приращению аргумента в точке х=х₀ называется производной функции в данной точке.

Символическое обозначение производной штрихом (а, вернее, римской цифрой I) введено Ньютоном. Можно использовать еще нижний индекс, который показывает, по какой переменной вычисляется производная, например, . Широко используется также другое обозначение, предложенное основоположником исчисления производных, немецким математиком Лейбницем:. С происхождением этого обозначения вы подробнее познакомитесь в разделеДифференциал функции и дифференциал аргумента.

• Производная, вычисленная в определенной точке – эточисло (если соответствующий предел существует и конечен).

Данное число оценивает скорость изменения функции, проходящей через точку .

Установим геометрический смысл производной функции в точке. С этой целью построим график функции y=y(x) и отметим на нем точки, определяющие изменение y(x) в промежутке

, где .

Касательной к графику функции в точке М₀ будем считать предельное положение секущейМ₀ М при условии(точкаМскользит по графику функции к точкеМ₀ ).

Рассмотрим . Очевидно,.

Если точку М устремить вдоль графика функции по направлению к точке М₀, то значение будет стремиться к некоторому пределу, который обозначим. При этом.

Предельный угол  совпадает с углом наклона касательной, проведенной к графику функции в т. М₀, поэтому производная численно равнаугловому коэффициенту касательной в указанной точке.

-

геометрический смысл производной функции в точке.

Таким образом, можно записать уравнения касательной и нормали (нормаль – это прямая, перпендикулярная касательной) к графику функции в некоторой точке х₀ :

Касательная - .

Нормаль - .

Представляют интерес случаи, когда эти прямые расположены горизонтально или вертикально (см. тему 3, частные случаи положения прямой на плоскости). Тогда,

если ;

если .

Определение производной называется дифференцированием функции.

 Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

 Теорема. Если функция y=y(x) дифференцируема в т. х₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, непрерывность– необходимое (но не достаточное) условие дифференцируемости функции.