Тема 5. Теория Исследование функций и построение их графиков
Разобьем процесс исследования функции на три этапа:
На первом этапе рассмотрим аналитическое выражение, задающее функцию: и определим следующие характеристики.
1 |
Область допустимых значений (D(x),ОДЗ) |
Это такие значения независимой переменной х , при которых функция существует. Подробно вопрос определения области допустимых значений рассматривается в курсе средней школы. |
2 |
Нули функции и точки пересечения с осью ОУ |
Нули функции – точки, в которых у=0 (пересечения с осью ОХ).Эти точки разделяют интервалы, в которых функция сохраняет знак. Полученные точки помогают строить график. |
3 |
Четная, нечетная, общего вида |
График четной функции: симметричен относительно осиОУ. График нечетной функции: симметричен относительно начала координат. |
4 |
Исследование точек разрыва и поведения функции на границах ОДЗ |
См. тему 4, классификация точек разрыва. В точках разрыва второго рода находятся вертикальные асимптоты функции. |
5 |
Наклонные и горизонтальные асимптоты функции |
Теорема. Для того, чтобы прямая былаасимптотой функции, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы: и. Пределы вычисляются отдельно для и, поэтому наибольшее количество асимптот – две. Если хотя бы один предел бесконечен или не существует, соответствующей асимптоты нет. |
На втором этапе найдем первую производную функции и по ее аналитическому выражению определим следующие характеристики самой функции.
1 |
Точки возможных экстремумов - критические точки |
Это точки, в которых (стационарные), или , илине существует. Критические точки и точки разрывов разделяют интервалы монотонности функции. |
2 |
Интервалы возрастания / убывания (монотонности). Обозначения: - возрастает, - убывает |
Теорема. Для того, чтобы на некотором интервале непрерывная, имеющая непрерывную производную функция быламонотонна, необходимо и достаточно, чтобы ее первая производная сохраняла знак на этом интервале. , или на |
3 |
Экстремумы (max / min) |
Теорема 1. Для того, чтобы в любой критической точке существовал экстремум, необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции меняла знак при переходе через эту точку. Теорема 2. Для того, чтобы в стационарной точке существовал экстремум, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная функции сохраняла знак в этой точке. |
Графическая иллюстрация теоремы 1 об экстремуме функции.
На третьем этапе найдем вторую производную функции и по ее аналитическому выражению определим следующие характеристики самой функции.
1 |
Точки возможного перегиба графика функции |
Это точки, в которых , или, илине существует. Точки перегиба разделяют интервалы выпуклости/ вогнутости функции. |
2 |
Интервалы выпуклости / вогнутости. Обозначения: - вогнута, - выпукла |
Теорема. Для того, чтобы на некотором интервале непрерывная, дважды дифференцируемая функция была выпукла/ вогнута, необходимо и достаточно, чтобы ее вторая производная сохраняла знак на этом интервале. , или на
|
Графическая иллюстрация теоремы о выпуклости / вогнутости функции и теоремы 2 об экстремуме функции.
Пример по исследованию функции и построению ее графика приведен в разделе Примеры выполнения обязательных домашних заданий по теме 5.