Производная неявно заданной функции

 - Если функция задается общим выражением относительно переменных x и y, то она называется заданной неявно:

F(x,y)=0,

(Сравните с явно заданной функцией: y=y(x)).

 - Чтобы найти производную , функции, заданной неявно, надо найти производную по переменнойх обеих частей выражения, задающего функцию.

 - При этом следует учитывать, что переменная y зависит от x (y=y(x)), и вычислять производную, как от сложной функции. Затем полученное уравнение разрешают относительно .

ПРИМЕР

Найти производную неявно заданной функции:

.

Найдем производные по х от левой и правой частей равенства, неявно задающего функцию y=y(x).

	Здесь использованы правила дифференцирования суммы и вынесения постоянной за знак производной (правила 3 и 5).
	Первое слагаемое является произведением функций:и Используем правило дифференцирования произведения (правило 4). Второе и третье слагаемые дифференцируются как сложные функции.
	Из полученного уравнения с помощью алгебраических преобразований выделяется искомая производная.
. 

Производная параметрически заданной функции

 - Параметрически заданная функция : , то есть переменныех и у задаются как функции третьей переменной t , которая называется параметром.

 - Чтобы найти производную параметрически заданной функции, используют следующую формулу: .

ПРИМЕР

Найти производную параметрически заданной функции:

в точке М(0;а).

Найдем производные по параметру t от x и у.

	Используем правила дифференцирования суммы и вынесения постоянной за знак производной (правила 3 и 5), а также дифференцирования сложной функции.
;	По формуле найдем производную .
	В заданной точке М: х=0; у=а; поэтому для определения значения параметра t, соответствующего точке М, следует решить систему.
	Выбираем только те корни, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы и находим значение производной в точке М
 - Если значение производной функции в некоторой точке , то это означает, что график функции в этой точке имеет касательную, расположенную вертикально ( по геометрическому смыслу: производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной ;). 

Логарифмическое дифференцирование (логарифмическая производная)

К логарифмическому дифференцированию обращаются в двух случаях.

I случай	II случай
Степенно-показательная функция:	Композиция (произведение/деление) более чем двух функций вида: .

В обоих случаях перед дифференцированием соответствующие выражения логарифмируют по основанию е (натуральный логарифм), используя свойства логарифмов (см. справочный материал). Эти свойства позволяют преобразовать выражение I в произведение, а выражение II – в алгебраическую сумму функций.

;

Затем находят производную, как производную неявно заданной функции, то есть, дифференцируя обе части полученных уравнений.

ПРИМЕР

Найти производную функции:.

II случай.

	Логарифмируем функцию.
	Вычисляем производную, как от неявно заданной функции.
	Из полученного выражения найдем , учитывая задание функцииу.
. 