13. Условия для электростатического поля на границе раздела двух диэлектриков.

Рассмотрим связь между векторами Е и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (диэлектрические проницаемости которых ₁ и ₂ при отсутствии на границе свободных зарядов. Построим вблизи границы раздела диэлектриков 1 и 2 небольшой замкнутый прямоугольный контур ABCDA длины l, ориентировав его так, как показано на рис. 136. Согласно теореме о циркуляции вектора Е,

Откуда

Рис 136

На границе раздела двух диэлектриков (рис. 137) построим прямой цилиндр ничтожно малой высоты, одно основание которого находится в первом диэлектрике, другое — во втором.

Основания S настолько малы, что в пределах каждого из них вектор D одинаков. Согласно теореме Гаусса

Заменив проекции вектора D проекциями вектора Е, умноженными на Вое, получим

Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора Е (E) и нормальная составляющая вектора D (Dn) изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), а нормальная составляющая вектора Е (Еn) и тангенциальная составляющая вектора D (D) претерпевают скачок.

Из условий для составляющих векторов Е и D следует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Найдем связь между углами 1 и 2 (на рис. 138 2 > 1). Е2 = Е1 и 2En2 = 1En1. Разложим векторы E1 и Е2 у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие. Из рис. 138 следует, что

Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий напряженности Е

Эта формула показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии Е и D удаляются от нормали.

13. Условия для электростатического поля на границе раздела двух диэлектриков

Рассмотрим простой случай (рис. 4.12): два бесконечно протяженных диэлектрика с ε₁ и ε₂, имеющих общую границу раздела, пронизывает внешнее электростатическое поле .

Рис. 4.12

      Пусть 

Мы знаем, что  и .

      Образовавшиеся поверхностные заряды изменяют только нормальную составляющую, а тангенциальная составляющая остается постоянной (рис. 4.12):

      то есть направление вектора  изменяется. Это закон преломления вектора напряженности электростатического поля.

      Рассмотрим изменение вектора  и его проекций  и    (рис. 4.13).

Рис. 4.13

      Т.к. , то имеем:

, ,

,

      т.е.  – нормальная составляющая вектора  не изменяется.

,

      т.е. тангенциальная составляющая вектора  увеличивается в  раз (рис. 4.12).

(4.5.1)

      Это закон преломления вектора .

      Объединим рисунки 4.12 и 4.13 и проиллюстрируем на рисунке 4.14 закон преломления для векторов  и .

Рис.. 4.14

      Как видно из рисунка 4.14, при переходе из одной диэлектрической среды в другую вектор  – преломляется на тот же угол, что и  (). Входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии и  удаляются от нормали.