55. Рубиновый лазер

Рубиновый лазер является первым квантовым генератором, работающим в оптическом диапазоне. В рубиновом лазере в качестве активного вещества используют монокристаллическую окись алюминия Al₂O₃ с решеткой сапфира, в которой часть ионов алюминия Al⁺³ изоморфно замещены ионами Cr⁺³. Концентрация ионов хрома не превышает ~1,6·10¹⁹ ат/см³. При больших концентрациях происходит взаимодействие ионов Cr⁺³ между собой, что приводит к искажению энергетического спектра ионов.

Розовый цвет кристаллов обусловлен широкими полосами поглощения Cr⁺³. Генерация лазерного излучения происходит за счет переходов между уровнями ионов Cr⁺³ (рис. 3.1). Такие ионы называются активными.

Нижний уровень расщеплен энергетическим полем решетки на два двукратно вырожденных подуровня. Излучение накачки поглощается в двух широких полосах, соответствующих переходам активных атомов из основного состоянияв состоянияи, которые происходят из терма свободного иона. Максимумы соответствующих полос поглощения расположены при 0,41 и 0,55 мкм, а ширина каждой из них составляет 100 нм. Эти полосы обозначены как Y и U- полосы, сравнительно хорошо вписываются в спектр излучения ксеноновой лампы- накачки. Красный цвет кристаллического рубина как раз определяется наличием широких полос поглощения в синих и зеленых областях спектра.

Рис. 3.1. Диаграмма энергетических уровней иона Cr⁺³ в рубиновом лазере.

Ниже полосы расположены уровни, также происходящие от терма свободного иона, включающие два подуровня E и . Электронные переходы с этих уровней в основное состояние определяют люминесценции рубина. Ее спектр состоит из двух однородно широких R- линий с полушириной 300 ГГц: - 694,3нм и-692,9нм. Генерация, как правило, наблюдается на- линии, т.к. уровень E заселен больше, чем.

Уровни метастабильны и характеризуются временем жизни τ ≈ 3 мс. Поэтому на них происходит накопление частиц и возможно получение инверсии населенностей.

Рубиновые лазеры, как правило, работают в импульсном режиме. Из-за низкого КПД () они неэкономичны по сравнению с другими лазерами, работающими в непрерывном режиме. При работе в непрерывном режиме мощность излучения P_непр = 0,1…1 Вт.

60. Уравнение Шредингера. Свойства волновой функции.

Состояние микрообъекта или какой-либо квантово-механической системы в результате внутренних и внешних взаимодействий с течением временем меняется. Это символически можно выразить с помощью оператора эволюции

. (1)

Приничего не должно произойти, так как мы вправе ожидать плавных изменений. Таким образом. Кроме того, можно предположить, что при малыхtотличается от единичного оператора на величину, пропорциональнуюt, так что можно записать

. (2)

Множительвыделяется в (2) по историческим причинам. Подставляя в (1) этот видприходим к операторному уравнению

. (3)

Операторносит название гамильтониана системы. В соответствии со своим смыслом, нормировка волновой функции не меняется со временем. Исходя из этого, можно показать, что гамильтониан является эрмитовым оператором. Возникает задача определения гамильтониана.

Для начала рассмотрим свободно движущуюся частицу, имеющей импульс pи энергию. Согласно де Бройлю ей сопоставляется плоская волна. Если учесть, чтои, то волновая функция частицы выглядит как

.(4)

В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус. Поскольку физический смысл имеет только, то это оказывается несущественным. Из данного вида волновой функции можно получить соотношения

;. Откуда, используя связь между энергией и импульсом частицы, получим уравнение

.

Если частица движется в силовом поле, обладающем потенциальной энергией U, то полная энергия. Проводя аналогичные рассуждения, приходим куравнению Шредингера

, (5)

где– оператор Лапласа (). Приведенные рассуждения не есть вывод уравнения Шредингера. Они поясняют, каким путем уравнение могло быть получено. Уравнение Шредингера, как основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, постулируется.

Уравнение (5) является общим уравнением Шредингера. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно , то в этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя

, гдеEимеет смысл полной энергии частицы. Подставив это выражение в (5) и после несложных преобразований, придем к дифференциальному уравнению для

. (6)

Уравнение (6) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний (или просто уравнением Шредингера).

Уравнение Шредингера позволяет найти пси-функцию данного состояния (6) и, следовательно, получить полную информацию о системе. В уравнение (6) в качестве параметра входит полная энергия E частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (6) имеют решения, удовлетворяющие стандартным и граничным условиям, не при любых значениях параметра, а лишь для некоторых из них. Эти значения называются собственными значениями гамильтониана (энергии). Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными функциями гамильтониана.

Таким образом, квантование энергии является следствием основных положений квантовой механики. Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, является нетривиальной математической задачей.

Волновые функции, получаемые из решений уравнения Шредингера

должны удовлетворять следующим условиям:

1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений. Таким образом, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией.

2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно.

3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции

4. Нормированность: интегрирование происходит по всей области изменения x y z; интеграл – сумма вероятностей нахождения частицы во всех возможных элементах объема.

Эти условия должны выполняться во всей области изменения переменных x, y, z. Они являются следствием того факта, что волновая функция по своему физическому смыслу определяет вероятность.