4.4 Понятие коэффициента интенсивности напряжений

В общем виде система уравнений (4.1) может быть записана в виде

.

Выражение K_I =  представляет в рассматриваемом случае (рис. 4.7) специальный параметр, именуемый коэффициентом интенсивности напряжений (КИН) и характеризующий поле упругих напряжений с учетом сингулярности в вершине трещины (индекс I указывает на тип трещины – нормального отрыва). Как видно, КИН зависит от вида и величины нагрузки, а также геометрических параметров системы; размерность этой величины – или .

Если трещина находится в пластине ограниченной ширины (ее иногда называют полосой), то коэффициент интенсивности напряжений для этой системы оказывается выше, чем в бесконечной (рис. 4.10). Указанное отличие учитывается с помощью корректирующей функции, например:

–

Рис. 4.10. Изменение коэффициента интенсивности напряжений в полосе в зависимости от относительной длины трещины

– по Вестергарду и Ирвину.

Сведения о коэффициентах интенсивности напряжений для различных расчетных схем содержатся в справочнике [7].

4.5 Размер и форма зоны пластической деформации. Поправка Ирвина на пластичность

Как следует из соотношений (4.1), при

r  0 _y  ;

r   _y  0,

и если первый результат совершенно понятен – в задачах теории упругости могут быть получены любые, сколь угодно большие напряжения, то второй – нет: при r   составляющая _y должна стремиться к номинальному напряжению  Следовательно, решение (4.1) носит локальный характер и может использоваться лишь в области, ограниченной, в первом приближении, изобарой, уравнение которой следует из условия

Рис. 4.11. Диаграмма деформирования идеального упругопластического тела; _Т – предельное напряжение («предел текучести»)

Рис. 4.12. К I–ой оценке размера зоны пластичности

С другой стороны, напряжения при r  0 бесконечными быть не могут: они ограничены пластическим течением материала. Используя диаграмму деформирования идеального упругопластического тела (диаграмму Прандтля–Райса, рис. 4.11) получим приближенную (так называемую I оценку) размера r_Т зоны пластического деформирования (в дальнейшем, для краткости, зоны пластичности) около вершины трещины при  = 0. Будем пока считать, что границей ее является окружность (рис.4.12). Очевидно, на границе зоны пластичности

,

откуда

(4.2)

Заметьте, что при выполнении этой оценки была допущена серьезная ошибка, а именно, потеряна нагрузка, соответствующая напряжениям, превышающим предел текучести, что, в свою очередь, привело к нарушению условия равновесия.

Уточненную (II оценку) размера зоны пластичности выполним, следуя Ирвину, путем моделирования физической нелинейности объекта (вследствие пластического деформирования материала) нелинейностью геометрической. Как известно, при неупругом деформировании повышается податливость системы (ее характеризуют секущим модулем С – см. рис. 4.11). Того же эффекта можно добиться фиктивным удлинением трещины, заменив реальную (физическую) длину l фиктивной l_эф = l + r₁ (рис. 4.13). Определим размеры r₁ и r₂ зоны пластичности, исходя из условия, что размер r₁ фиктивного удлинения трещины должен обеспечивать равенство нагрузок, отвечающих областям А и В.

Н айдем вначале величину r₂:

Из условия равенства нагрузок Q_A = Q_B, которое сводится к равенству площадей S_A = S_B, запишем

учитывая, что r₁ << l, а r₁  r _Т , получим

Рис. 4.13. Ко II–ой (уточненной) оценке размера зоны пластичности

возведем правую и левую части равенства в квадрат: ;

с учетом выражения (4.2) последний результат представим в виде

Таким образом, оказалось, что r₁ = r₂ = r_Т, то есть, в соответствии с уточненной оценкой протяженность зоны пластического деформирования оказалась вдвое больше, чем было определено приближенно.

Из приведенных рассуждений следует важный вывод:

вследствие образования зоны пластического деформирования податливость системы возрастает, что уравнениями (4.1) не учитывается, однако, используя эффективную длину трещины l_эф = l + r₁, можно по-прежнему применять эти соотношения.

Величина r₁ носит название поправки Ирвина на пластичность; в дальнейшем будет обозначаться r_*.

Разумеется, как при l = l (физической длине), так и при l = l_эф уравнения (4.1) внутри зоны пластичности неприменимы, но с фиктивной длиной трещины эти зависимости вновь могут быть использованы в точках с координатами r  r₂, в то время как с исходной длиной l в точках r  (r₁+ r₂) они показывают заниженные значения напряжений.

В условиях плоского деформированного состояния (ПДС) пластическое течение в окрестности вершины трещины стеснено окружающим объемом упруго работающего материала, поэтому размер зоны пластичности при ПДС оказывается значительно меньше, чем при плоском напряженном состоянии (ПНС) – рис. 4.14. По-разному реализуются и пластические сдвиги в этой области (рис. 4.15).

Рис. 4.14. Сопоставление зон пластичности при плоском деформированном и плоском напряженном состояниях

Рис. 4.15. Схема взаимного смещения плоскостей скольжения при плоском деформированном и плоском напряженном состояниях

Известно, что в этих условиях интенсивность напряжений  _иТ, при которой начинается пластическое течение материала, примерно втрое превышает предел текучести _Т, найденный при одноосном растяжении лабораторного образца. Отношение  =  _{иТ /Т} в англоязычной литературе называется коэффициентом ограничения на пластичность.

Воспользовавшись одним из известных критериев текучести, нетрудно показать, что размер r_Т ( = 0) зоны пластичности при ПДС действительно будет меньше, чем при ПНС (в частности, по критерию Мизеса, если значение коэффициента Пуассона  = 0,3, в девять раз).

Что же касается поправки Ирвина на пластичность r_*, то при ее определении следует иметь в виду, что средняя величина коэффициента ограничения на пластичность для конструкций, работающих в условиях ПДС, оказывается меньше трех. Это объясняется существованием области плоского напряженного состояния на свободной поверхности тела и переходной от ПНС к ПДС зоны вблизи поверхности. Ирвином было принято значение

.

Тогда выражение (4.2) будет иметь вид

(4.3)

Рис. 4.16. Форма зоны пластичности в плите

ч то составляет треть величины коррекции на зону пластичности при плоском напряженном состоянии. На рис. 4.16 показана зона пластического деформирования материала в толстой пластине (плите), в которой реализуются все три вида напряженного состояния. Границы этой зоны были определены с помощью критерия начала пластического течения Мизеса.