2.5 Исследование устойчивости для систем порядка n
Рассматривается линейная стационарная система, движение которой описывается системой n дифференциальных уравнений в форме Коши, разрешенных относительно производных
=
Элементы матрицы динамических коэффициентов А не зависят от времени:
A
=
С использованием программы damp вычисляем собственные значения матрицы динамических коэффициентов А
damp (A)
Собственные значения матрицы динамических коэффициентов А могут быть вещественного либо комплексного типа
=
=
j
2.5.1 Корневой анализ системы порядка n
Динамическая система имеет n-корней, из которых k – число вещественных корней и n-k – число комплексно сопряженных корней. Если все корни имеют вещественную отрицательную часть, то динамическая система устойчива. Если хотя бы один корень положительный, то система неустойчива.
x
=
+
sin(
)
число колебательных форм движения
L
=
=
k + L
=
,
=
Система
порядка n
имеет
k
апериодических форм движения с частотой
среза
=
,
равной модулю вещественной части корня,
и L
=
колебательных форм движения с частотой
среза
Все формы ранжируются в порядке возрастания частоты от минимальной до максимальной. Главной является 1-я форма с минимальной частотой. Если этой частоте соответствует вещественный корень, то 1-я форма есть апериодическое движение, а если собственное значение – комплексно-сопряженная величина, то 1-я форма представляет собой колебательное движение.
Рис. Варианты первой формы движения апериодического и колебательного типа.
Результатом частотного анализа собственных значений является:
Устойчивость системы, если все вещественные части корней – отрицательны.
Определение 1-ой формы движения по величине минимального по модулю собственного значения частоты (где форма движения может быть апериодической или колебательной в зависимости от того, каким является минимальный по модулю корень (вещественным или комплексно-сопряженным))
Определение числа апериодических форм движения k и колебательных форм движения L
Для каждой формы колебательного движения определяются значения частоты и коэффициента относительного демпфирования.
Для систем с автоматикой требуется, чтобы коэффициент относительного демпфирования составлял
для истребителей,
для пассажирских самолетов и не превышал
для самолетов всех типов.
Пример:
Угловое движение по крену самолета с приводом элеронов.
=
a
+ b
=
=
=
-
–
+
,
– командный сигнал
+
A
=
damp (A)
После линейного анализа на устойчивость разомкнутой системы решается задача синтеза системы управления по заданным техническим характеристикам и критериям устойчивости.
2.6 Метод синтеза системы управления по желаемому значению частот и коэффициентов относительного демпфирования форм движения изолированной системы
При исследовании системы из n-дифференциальных уравнений она обладает числами n-вещественных корней и числами l-комплексно-сопряженных корней
n = m + 2l
k = m + l - число форм движения
Для устойчивости замкнутой динамической системы все вещественные части корней должны быть отрицательными, а требования к частотам и коэффициентам относительного демпфирования определяются по заданным техническим требованиям.
Характеристиками
управляемости являются время срабатывания
,
время регулирования
и относительное перерегулирование.
При выборе желаемого коэффициента относительного демпфирования необходимо обеспечить компромисс между быстродействием по времени срабатывания и точностью управления по величине перерегулирования.
Для
приводов выбор коэффициентов обратной
связи по линейному/угловому перемещению
и скорости должен обеспечить коэффициент
относительного демпфирования в диапазоне
0,5
0,7.
Для самолетов истребительной авиации минимальное значение коэффициента относительного демпфирования не менее 0,5, а для неманевренных не менее 0,6.
Для
тяжелых самолетов допускается точность
управления с перерегулированием не
более
,
что обеспечивает коэффициент относительного
демпфирования
=
= 0,707.
На участках точного пилотирования требование к точности отработки командных сигналов достигают 1 2%, что обеспечивает коэффициент относительного демпфирования = 0,95