1. Элементарная квадратичная функция. Стандартный вид

Для ,

получается из посредством сдвига на вдоль Ох, растяжением в раз вдоль Oy и сдвигом вдоль Oy на .

Другими словами, система координат сдвигается следующим образом и Oy растягивается в раз.

Пример.

2. Парабола

Определение (геометрическое). Парабола – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки , называемой фокусом, и прямой , называемой директрисой. Предполагается, что .

Определение (аналитическое). Парабола – кривая второго порядка, задаваемая в некоторой прямоугольной системе координат уравнением ( )

Число называется фокальным параметром. Его геометрический смысл – расстояние между директрисой и фокусом .

Теорема. Аналитическое и геометрическое определения параболы совпадают.

Параллельный перенос параболы. Уравнение  задаёт ту же параболу   с вершиной в точке  .

Вернемся в наши стандартные оси – то есть сделаем замену :

Уравнение
Директриса
Фокус

3. Квадратные уравнения и неравенства

Для уравнения из представления

легко выводятся общие формулы для корней квадратного уравнения:

, где .

Если , то оба корни действительные

Если , то корни совпадают и говорят, что существует один корень кратности 2

Если , то действительных корней нет

Теорема (Виета). Если квадратное уравнение умеет корни, то они удовлетворяют формулам: .

ВАЖНО! Не забываем проверять неотрицательность .

Теорема. Пусть - корни квадратного трёхчлена . Тогда справедлива формула

Решение неравенств

Графически – эскиз параболы//Метод интервалов – смена знака скобки

Пример.

Для каждого значения а решите неравенство .

Решение: по теореме Виета находим корни

• Они совпадают, если

• При а≠1 D>0, т.е. получаем два корня соответствующего уравнения . При а>1 получаем ответ , при а<1 получаем ответ

Ответ: при , при , при

4. Максимальное и минимальное значение квадратного трехчлена

Теорема. Если a>0, то квадратный трёхчлен при имеет наименьшее значение, равное (где ). Если a<0, то квадратный трёхчлен имеет при наибольшее значение, равное .

Max/min а отрезке – в вершине или на концах

Тема 5. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от значений параметра

Пусть дано уравнение . Рассмотрим функцию и М – точка на оси Ох.

1) Найти набор условий, при котором все корни уравнения меньше М

Ход решения:

Данная функция в зависимости от значения параметра перед старшим членом может оказаться параболой или линейной функцией. Рассмотрим оба этих случая:

• Пусть а=0, и дана линейная функция.

Тогда и нужно поставить условие .

• Пусть , и дана квадратичная функция.

Тогда мы можем найти корни уравнения и проверить условие, что оба корня меньше М. Однако в некоторых случаях (например, когда дискриминант не является полным квадратом) такая проверка достаточно трудозатратна и сложна чисто арифметически. В этом случае можно не находить корни, а поставить ряд условий, которые позволят совершенно точно задать нужное нам расположение параболы.

или , где х₀ – координата х вершины параболы.

Можно проверить эти два случая (ветви параболы направлены вверх или вниз) в одной системе:

2) Найти набор условий, при котором все корни уравнения больше М

Здесь и далее общий ход решения такой же, как в первом примере, поэтому далее будут указываться только система условий для случая, когда дана квадратичная функция, а корни находить неудобно и долго.

3) Найти набор условий, при котором один из корней уравнения меньше, а другой - больше М

Здесь уже очевидно, что речь идет о квадратичной функции, так как корней два, поэтому случай с линейной функцией можно не проверять.