Поворот и замена координат
Отдельное, более сложное, чем параллельный перенос и симметрия, движение на плоскости – это поворот. Для простоты будем считать, что мы всегда делаем поворот вокруг начала координат (другие повороты – это композиция параллельных переносов и поворота вокруг (0;0)).
Поворот можно рассматривать как переход к новым осям с тем же началом координат. Оси вместе с образом поворачиваются на определенный угол по или против часовой стрелки.
Пусть
- координаты точки до поворота, а
-
после.
Это координаты данной точки в старых осях!
Для
поворота на угол
против часовой стрелки действует
правило:
(1)
Для поворота на угол по часовой стрелке действует правило:
Заметим, что меняется лишь знаки перед синусами. На самом деле можно рассматривать только формулу (1), если считать, что поворот по часовой стрелке – это поворот против часовой стрелки, но на отрицательный угол. (как это делается на единичной окружности в тригонометрии).
Тема 2. Линейная функция
Векторы
Вектор – направленный отрезок (на плоскости или в пространстве).
Вектора называются равными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, направлены в одну сторону и при этом длины векторов равны.
Векторы
на плоскости (как и в пространстве) можно
задавать координатами.
Пусть
- произвольный вектор на плоскости Оxy.
Выберем такую точку А
плоскости, что
.
Тогда координаты точки А
будут координатами вектора
.
При этом будет употребляться запись
,
где
- координаты точки А.
Если
даны две точки
и
,
то координатами вектора
будут
.
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.
Операции с векторами
модуль или длина вектора
Модулем
или длиной вектора
называется число, равное длине отрезка,
образующего данный вектор. Обозначается
как
.
Найти его через координаты можно как
.
умножение вектора на число
Коллинеарность:
ненулевые векторы называются коллинеарными,
если они лежат на параллельных прямых
(нулевой вектор считается коллинеарным
любому вектору). Ненулевые векторы
коллинеарны, если и только если найдется
такое число k,
что
,
то есть
.
Отсюда
.
сложение векторов
Если даны векторы с координатами и
,
то
.скалярное произведение векторов
Если
даны векторы
и
,
то их скалярным произведением
называется произведение модулей этих
векторов на косинус угла между ними:
.
Если
даны два вектора с координатами
и
,
то скалярное произведение равно
.
Деление отрезка в заданном соотношении
Пусть
даны две точки
и
.
Нужно найти координаты точки
,
которая делит этот отрезок в соотношении
c:d.
,
Уравнение прямой
уравнение прямой с угловым коэффициентом
каноническая форма уравнения прямой
Пусть
нужно найти уравнение прямой по точке
и направляющему
вектору
,
т.е. ненулевому вектору, лежащему на
искомой прямой или параллельному ей.
частный случай: уравнение прямой по двум точкам
Пусть
даны две точки
и
.
Уравнение прямой, проходящей через эти
две точки:
параметрическая форма уравнения прямой
Пусть нужно задать прямую в параметрической форме по точке и направляющему вектору .
общее уравнение прямой
Пусть
нужно найти уравнение прямой по точке
и нормальному
вектору прямой
,
т.е. ненулевому вектору, перпендикулярному
искомой прямой.
Обычно общее уравнение прямой записывают в виде
