Число решений системы линейных неравенств

Форма задания прямой	Прямые параллельны, нет решений	Прямые совпадают, бесконечно много решений	Прямые пересекаются, одно решение	Частный случай: прямые перпендикулярны
		k1=k2, b1=b2		k1*k2=-1
				, то есть A1*A2 + B1*B2=0
	или	или

Лекция 3. Модули

Напомним определение модуля и его основные свойства.

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) |х| называется само это число, если х ‑ положительное число; нуль, если число х ‑ нуль; число, противоположное числу х, если х ‑ отрицательное число.

Это определение можно записать в другой форме:

Теорема. Свойства модуля действительного числа:

1. │а+в│≤│а│+│в│;

2. │ав│=│а│*│в│;

3. │1/а│=1/│а│ при а≠0;

4. │а-в│≥││а│-│в││.

Схемы решения рациональных уравнений/неравенств с модулями

1. Схема |f(x)| = c.

При с < 0 – нет решений.

При с = 0 f(x) = 0.

При с > 0 .

Пример 2. . Ответ: .

2. Схема |f(x)| ≥ c.

При с ≤ 0 – D(f), то есть все числа, при которых определена функция f(x).

При с > 0 .

Пример 3. . Ответ:

3. Схема |f(x)| ≤ c.

При с < 0 – нет решений.

При с = 0 f(x) = 0.

При с > 0 .

Пример 4. . Ответ:

4. Схема |f(x)| = g(x).

.

Выбор схемы зависит от того, какое неравенство легче решать – на f(x) или на g(x).

5. Схема |f(x)| ≥ g(x).

Выбор схемы зависит от того, какое неравенство легче решать – на f(x) или на g(x).

6. Схема |f(x)| ≤ g(x).

Выбор схемы зависит от того, какое неравенство легче решать – на f(x) или на g(x).

Метод интервалов для модулей

Применяется в уравнениях и неравенствах типа |f(x)| + |g(x)| = h(x) и им подобных, то есть там, где есть несколько модулей и они не зависят друг от друга (в том смысле, что не являются вложенными). В случае вложенных модулей надо раскрывать от внешнего к внутреннему или наоборот – в зависимости от возможных упрощений, но в одном порядке.

Схема метода интервалов для модулей. Разбиваем числовую ось точками, в которых подмодульные выражения равны нулю, на промежутки знакопостоянства подмодульных выражений. На каждом промежутке раскрываем модули (в зависимости от знака подмодульного выражения), решаем уравнение или неравенство, пересекаем получающийся ответ с промежутком. Затем объединяем полученные на всех промежутках ответы.

Напомним:

1.y=|f(x)| - часть графика, находившаяся выше оси Ох, остается неизменной, а часть графика, находившаяся ниже этой оси, симметрично отображается относительно Ох

2. y=f(|x|) – часть графика, находившаяся правее оси Оy, остается неизменной и симметрично отражается влево относительно оси Oy.

3. |y|=f(x) – часть графика, находившаяся выше Ох остается неизменной и симметрично отражается вниз относительно Ох, а часть графика, находившаяся ниже оси Ох стирается.

y=|x|-a

y=|x-a|

Сделаем математику красивее…

Построить множество точек, задающееся уравнением

Комментарий: а – половина диагонали квадрата.

Геометрический центр квадрата – (0;0).

Чётно по х и у, то есть, строим в первой четверти

и отражаем во все четыре.

Построить множество точек, задающееся уравнением

Комментарий: Строим , смещаем

Всю фигуру на 2 единицы вправо и 1 единицу

вверх. Сжимаем вдоль оси оу в 2 раза.

Сумма модулей

Если функция является суммой или разностью нескольких модулей, следует разбить координатную плос-кость на участки и построить часть графика на каждом из участков отдельно. Границы участков определяют-ся значениями переменных, при которых обнуляется один из модулей. Таким образом, эти границы можно найти с помощью приравнивания каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения.

Пример 3.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1|.

Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, иследовательно, 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно, 2 границы, которыми плоскость разби-та на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1|, используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участ-ках, например, при x = −3 и x = 3. На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).

Запомните: Если y1 = k1x+b1 и y2 = k2x+b2, то их сумма: !

Ysum = y1+y2 = (k1+k2)x + (b1+b2)

Лекция 4. Квадратичная функция. Парабола