«Воображариум»

Вся теория первого семестра 2017-2018 уч.г.

Тема 1. Вводное занятие. Функция

1. Понятие функции и ее аргумента

Пусть X и Y - произвольные множества. Говорят, что на Х задана функция f, если каждому элементу х множества Х поставлен в соответствие единственный элемент у множества Y. Закон соответствия обычно обозначается f : Х Y , y=f(x).

х называется аргументом функции у.

Областью определения функции называют числовое множество Х и обозначают D(f), областью значений функции называют множество Y, состоящее из значений, которые принимает функция при подстановке чисел из множества Х, и обозначают E(f).

2. Способы задания функций

• Табличный способ. 

Пример. Мы знаем значения функции для 1, 2 и 4.

х	y
1	1
2	4
3	?
4	16

Можем предположить, что это функция и для x=3 предположить значение 9. Но это необязательно так. Например, функцией может оказаться многочлен третьей степени:

*Как найти такой многочлен, если мы знаем его степень? – Метод неопределенных коэффициентов . При использовании этого метода становится очевидно, что квадратный трехчлен, проходящий через заданные три точки определяется однозначно, а вот уже для многочлена третьей степени существует бесконечное множество вариантов

• Графический способ. 

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

• Аналитический способ – задание формулой y = f(x) или  F(x,y)=0.  В том числе можно выделить параметрический способ задания функции, когда используется параметр, через который выражаются х и y по отдельности.

Пример.

Чтобы перейти от параметрической формы к явной аналитической, необходимо исключить параметр из системы:

Получаем прямую

• Словесный способ. 

3. Элементарные функции

линейная ( ),

квадратичная ( ),

степенная ( , где n целое число, не равно 1),

иррациональная (степенная функций с рациональными показателями)

тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x),

обратные тригонометрические (y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx).

показательная ( ,где a больше 0 и не равно 1),

логарифмическая ( , где a больше 0 и не равно 1).

4. Функциональные уравнения

Это такие уравнения, где неизвестной является функция.

5. Плоские множества

Дана исходная функция y=f(x) (то же самое работает для F(x,y)=0).

Ее график (геометрический образ) задает некоторую границу, можно говорить, что эту границу также задает ее уравнение y=f(x) (F(x,y)=0) – точки, координаты которых удовлетворяют уравнению составляют эту границу.

Если рассмотреть неравенство y≥f(x) (F(x,y) ≥0), оно будет задавать область на координатной плоскости, при этом нестрогость знака означает, что граница включена в образ, а строгость – что все ее точки выколоты (обычно обозначается пунктиром).

Пример. - круг единичного радиуса

6. Преобразование графиков функций и других геометрических образов

Дана исходная функция y=f(x) (то же самое работает для F(x,y)=0)

1. y=f(x)+A – график функции смещается на А единиц вверх (если А>0) или вниз (если А<0) вдоль оси Oy

2. y=f(x-A) – график функции смещается на А единиц вправо (если А>0) или влево (если А<0) вдоль оси Ox

3. y=-f(x) – график функции симметрично отображается относительно оси Ох

4. y=f(-x) – график функции симметрично отображается относительно оси Oy

5. y=|f(x)| - часть графика, находившаяся выше оси Ох, остается неизменной, а часть графика, находившаяся ниже этой оси, симметрично отображается относительно Ох

6. y=f(|x|) – часть графика, находившаяся правее оси Оy, остается неизменной и симметрично отражается влево относительно оси Oy.

7. y=kf(x), где k>0 – происходит растяжение графика функции вдоль оси Oy относительно оси Ох (если k>1)/ сжатие (если k<1)

8. y=f(kx), где k>0 – сжатие вдоль оси Ох относительно Оy (если k>1)/ растяжение (если k<1)