Пример 1 [18]

Согласно первой теореме подобия: у явлений, подобных в том или ином смысле (физически, математически и т.д.), можно найти определенные сочетания параметров, называемых критериями подо- бия, имеющих одинаковые значения. Под критерием подобия понима- ется обобщенная переменная (ОП) – безразмерный комплекс физиче- ских величин, определяющий тот или иной процесс [17].

Клеевые швы восстановленных подшипниковых узлов различ-

ных типоразмеров являются подобными, так как используется один и тот же полимерный материал, материал подшипников и подшипнико- вые узлы подвергаются одному виду циклического нагружения (сим- метричный цикл).

Из первой теоремы подобия следует, что критерии подобия в подшипниковых узлах различных типоразмеров, являющихся подоб- ными, будут равны. Следовательно, проблему сокращения объемов испытаний можно решить, если проводить исследования долговечно- сти восстановленных неподвижных соединений с использованием критериев подобия. При этом результаты исследования подшипнико- вых узлов одного типоразмера будут пригодны для использования применительно к любым другим типоразмерам.

Для этого необходимо получить критерий подобия, определяю- щий связь между параметрами полимерного материала, нагрузкой и долговечностью восстановленного неподвижного соединения.

Усталостное разрушение в полимерных материалах при цикли- ческом нагружении можно объяснить с помощью теории зародыше- образования. В самом простом случае разрушение образца из поли- мерного материала происходит в момент, когда при каком-то цикле нагружения начинается нестабильный рост трещины. Количество циклов нагружения до разрушения образца называют усталостной долговечностью. В общем случае усталостная долговечность опреде- ляется как сумма времени до образования нестабильной трещины и времени до макроскопического разрушения, имеющего место в поли- мерном материале при циклическом нагружении.

Д.С. Преворсек с сотрудниками применили теорию зародыше- образования для описания процесса усталостного разрушения поли- мерного материала и показали, что долговечность последнего опреде- ляется временем образования нестабильной трещины.

Скорость образования трещины при циклическом нагружении

предложено определять по формуле [19]

R ^{VkT ZexpFexp}B^|²g(b)1,84^{, (4.2)}







NF ^



2fh^

 _{kT a}

где V – объем образца, м³; k – постоянная Больцмана, k = 1,380662·10^-23Дж/К; T – температура испытания, К; Z – неодно- родность напряжений; f – частота, Гц; h – постоянная Планка, h = 6,626 · 10^-34Дж·с;F – энергия активации, Дж; v – объем пор, м³; B^|– обозначениевыражения:

B^|= vq²/ 2ЕkT;

q – коэффициент интенсивности напряжений;^_а– амплитуда напряжений, Па; g(b) = 0,37b²+ 0,58b, где b – отношение среднего напряжения и амплитуды напряжения, b =^_m/^_а; E – модуль упру- гости полимерного материала, Па.

Усталостную долговечность образца из полимерного материала lg N при циклическом нагружении можно определить по формуле

^ 2fh^ _

_{1 }

vq²²g(b) ^

lgNlg

_

_F^a 1,84kT_

, (4.3)

_{V k T Z 2.3}kT_ 2E _

Для определения критериев подобия использовали вторую тео- рему подобия, известную также под названием^{-теоремы. Всякое полное уравнение процесса, записанное в определенной системе еди- ниц, может быть представлено в виде зависимости между}критериями

подобия, т.е. безразмерных соотношений, составленных из входящих в уравнениепараметров.

Любой физический процесс описывается уравнением связи между параметрами процесса и параметрами элементов системы.

В нашем случае процессом является изнашивание при цикличе- ском нагружении клеевых неподвижных соединений, а параметрами процесса – напряжение^{, температура Т и частота нагружения f. Си-}

стемой является подшипниковый узел с неподвижным соединением, восстановленным полимерным материалом, а параметрами элементов системы – толщина клеевого шва h_кш, модуль упругости полимерного материала Е, диаметр наружного кольца D и ширина В подшипника. В общем виде это уравнение связи имеет вид

f(P_1,P_2,...,P_i,...,P_k,...P_S,...,P_m)0, (4.4)

где P₁, P₂, ..., P_m– параметры, 1ik; k+1sm.

Уравнение (4.4) полное, поэтому является однородным и все входящие в него параметры можно выразить в относительных едини- цах, т.е. в долях от некоторых величин P₀₁, P₀₂, ... , P_оm, имеющих со- ответственно такую же размерность, что и P₁, P₂, ... , P_m.

f(^P1

_,P₂

,...,^Pi

,...,^Pk

_,^Pk1_...^PS

,...,^Pm)0 .

^P01

^P02

^P0i

^P0k1

^P0k1 ^P0S

^P0m

Применим^{-теорему к формуле (4.3) и запишем ее в виде (4.4)}





f( ^a,

a0

F

F₀

,^T,

T₀

f_,V

f₀V₀

)0. (4.5)

Не все величины, в долях от которых желательно выразить пять параметров в уравнении, можно выбрать произвольно. Для определе- ния этих величин выписали размерности всех параметров в системе единиц СИ:

_aL^1M¹T^2^0_a0,

0

FL^2M1T^2^0F,

0

TL^0M0T⁰^0T,

(4.6)

0

fL^0M0T^1^0f,

0

VL^3M0T⁰^0V.

Прологарифмировав выражения (4.6), получили систему линей- ных уравнений, где коэффициентами являются показатели степени основных единиц. Далее определили количество независимых между параметров, которое равно четырем. Затем перезаписали аргументы (4.5) в последовательности: вначале записали отношения четырех не- зависимых величин, а затем одной зависимой. В нашем случае урав- нение (4.5) не изменилось.

Далее выразили оставшиеся единицы, т.е. [V_о] через независи- мые [^_ао], [^F_o], [Т_о] и [ f_о], используя для этого выражение

P

P

P

,P

01

02

0i

0k

где y_i= D_i,s/ D.

_Роs= Y1

^Y2...

Yi_... Yk

V_ X1_FX2TX3f

_X4_.

0 a0 0 0 0

Неизвестные показатели степени X определили как отношение определителя D_i,sк определителю системы D = – 3.

V₀

__a0

^1_F

^1T

^0f

^0.

0

0

0

Критерий подобия^{имеет}вид

₁

_₀

V

_F1_T0

_f0.

После ряда преобразований получили

1

_{ }(K(hS²⁾

_a

, (4.7)

где h – толщина клеевого шва, м; S – площадь клеевого шва, м²; К –величина,постоянная для данногополимерного материала,К =^F·/М.

Поясним физический смысл критерия подобия с точки зрения обеспечения долговечности и влияния масштабного фактора. С уве- личением размеров образца, в частности площади и толщины клеево- го шва или полимерного покрытия, долговечность образца при цикли- ческом нагружении будет снижаться. Это обусловлено следующими причинами: 1) увеличением вероятности появления дефектов в связи со статистической природой усталостных явлений; 2) повышением неравномерности свойств по сечению клеевого шва или полимерного покрытия с увеличением абсолютных размеров; 3) увеличением зоны объема материала, охватываемого повышенными напряжениями [20]. Поэтому, чтобы получить такую же долговечность, как на модели ма- лых размеров, на оригинале больших размеров необходимо соответ- ственно снизить значение радиальной нагрузки Р.

Проведены экспериментальные исследования, подтвердившие адекватность формулы критерия подобия^{(4.7). По результатам}ис-

следований разработана технология восстановления неподвижных соединений подшипников качения акриловым адгезивомАН-105.

Сочетание теорий подобия и теории планирования активного эксперимента позволяет использовать критериальные функции откли- ка, в качестве которых принимают не отдельные величины, а критери- альные соотношения. Такие соотношения обеспечивают получение области оптимальных параметров, что очень актуально приис-

следованиях сложных технических систем, проводимых на различно- го рода моделях. Моделирование выступает как инструмент проверки практикой создаваемых теорий и методов расчетов, средство ускорен- ных испытаний, проверки вновь конструируемых узлов и агрегатов наземных транспортно-технологических средств.

Критериальные зависимости в сочетании с методами планиро- вания активного эксперимента и регрессионным анализом облегчают задачи оптимизации сложных технических систем.

Критериальная обработка результатов исследований позволяет существенно сократить количество необходимых экспериментов за счет уменьшения числа варьируемых факторов, распространить ре- зультаты каждого из этих экспериментов на неограниченно большой класс подобных процессов.

Пример 2.Исследуется процесс в электрической цепи с актив- ным сопротивлениемR,индуктивностьюLи емкостьюСпри включе- нии на источник постоянного напряжения U. Необходимо оценить влияние факторовR, L, СиUв заданных диапазонах на максимальное значение тока в цепи, т.е. изучить зависимость i_max=f(R, L, С, U). Критерии подобия процесса определяют на основе анализа раз- мерностей параметров i, R, L, С, U. Выбрав в качестве независимых

факторы U, R и С, можно получить критерии подобия

₁iR/U;

2

L/R²C. Исследуемая зависимость в критериальной форме примет

вид_i

^imax

R/UL/R²C.

Если известно математическое описание процесса, тогда полу-

чим

ULdi/dt1/CidtiR.

Делением всех членов уравнения на чет-

вертый член можно получить три критерия подобия:

_1U/Rii_уст/i(i_уст– это установившийся ток в цепи),

₂L/Rt,₃t/RC.При объединении второго и третьего критериев в

один и неизменном масштабе времени получим

₂₃

L/R²C=idem.

1

Критерий

^1определяет масштаб тока

i_

iⁱуст

. Получен тот жере-

зультат, что и на основе анализа размерностей.

Переход к критериям подобия уменьшает количество варьируе- мых факторов с четырех (R, L, С, U) до одного (L/R²C). Это сокра- щает число опытов, необходимых для экспериментального определе- ния искомой зависимости. Три-четыре опыта при вариациях значения безразмерного комплекса дадут соотношение, описывающее влияние на параметры R, L, С, U. Каждая точка этого соотношения будет со- ответствовать бесконечному числу подобных процессов [_i^=idem,

₂^=idem].