Геометрическое подобие материальных систем

Все пространственные координаты одной i-системы ~ простран- ственным координатам другой системы ( рис. 3.19). При этом m_x= m_y= m_z= m.

^x x

Рис. 3.19. Пример геометрического подобия

x

ⁱm_x,

X_i

ⁱm_y,

y

Y_i

ⁱm_z,

z

Z_i

где x_i, y_i, z_i, X_i, Y_i, Z_i– коэффициенты сходственных точек рассматри- ваемых систем; m_x, m_y, m_z– коэффициенты подобия, или масштабы.

Афинное подобие

При аффинном подобии соблюдает- ся условие

m_x≠ m_y≠ m_z.

(рис. 3.20).

x

m_x≠ m_y≠ m_z.

Геометрическое подобие– это частный случай афинного подобия, когда m_x= m_y= m_z= m .

Конформное подобие

Шар (глобус) преобразуют в плоскую модель (карту). На рис. 3.21 по- казан пример конформного подобия.

Рис. 3.21. Пример конформного подобия

По степени соответствияпараметров моделей и оригиналов различают абсолютное, полное, неполное и приближенное подобие. По соответствию физической природе различают физическое и мате- матическоеподобие.

Абсолютное подобиетребует полного тождества явления и яв-

ляется абстрактным понятием.

Полное подобие– подобие тех процессов, протекающих во времени и пространстве, которые определяют в основном исследуе- мые явления.

Неполное подобиесвязано с изучением процессов только во времени или только в пространстве.

Приближенное подобиереализуется при некоторых упрощаю- щих допущениях, приводящих к искажениям, которые заранее оцени- ваются количественно аналитическим или экспериментальным путем.

Физическое подобиереализуется при одинаковой физической природе подобных явлений (механическим процессам в изучаемой си- стеме соответствуют механические процессы в подобных системах).

Математическое подобиетребует соответствия параметров сравниваемых процессов (например, одинаковой формы уравнений, описывающих физически разнородные явления). Процесс колебания маятника описывается аналогично процессам колебания тока и напряжений в цепи, состоящей из емкости и индуктивности.

Все виды подобия подчиняются некоторым общим закономер- ностям, называемым теоремами подобия.

Первая и вторая теорема подобия получены из предположения, что речь идет о явлениях, подобие которых заранее известно. Третья теорема подобия определяет условие, необходимое и достаточное, чтобы явления оказались подобными.

Первая теорема подобия. У подобных явлений можно найти определенные сочетания параметров, называемых критериями подо- бия, имеющих одинаковое значение.

Подобные процессы описываются однородными уравнениями

n

j

y

^/y^/

2

y

y

^j ₂...

n

(4.1)

или

^yj 

y_n

idem,

где – критерийподобия;

«idem» – соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов.

Критерий подобия можно преобразовать в критерий другой формы с помощью операции умножения или деления ранее найден- ных критериев друг на друга.

_Ridemи^kj



idem

^Rkj

idem;

idem;^R



R kj

idem;

R_Ridem,

гдеR– любая константа.

В приложении Д приведены наиболее известные критерии по- добия [17].

Вторая теорема подобия. Всякое полное уравнение физическо- го процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия, т.е. безразмерных соотношений, составленных из входящих в уравнение параметров.

При этом переходе к критериальному уравнению происходит замена переменных и сокращение их числа с m размерных до n без- размерных величин, что упрощает обработку аналитических и экспе- риментальных исследований и позволяет применить результаты ис- следований к ряду подобных явлений.

Например, имеем уравнение (алгебраическое, интегральное,

дифференциальное):

ABCDE.

Для получения критерия подобия необходимо и достаточно ле- вую часть уравнения разделить на правую:

^AB_E^CD_E1,

где

AB_EиCD_E

- критерии подобия (обобщенные переменные).

Третья теорема подобия. Необходимым и достаточным усло- вием подобия является пропорциональность сходственных парамет- ров, входящих в условие однозначности, и равных критериев подобия изучаемого явления.

При моделировании необходимо знать соотношения, устанавли- вающие условия перехода от модели к исследуемому объекту (ориги- налу). Такие соотношения называют коэффициентами подобия, или масштабами.

В научных исследованиях в настоящее время широко использу- ют моделирование, в основе которого лежит подобие модели и нату- ры.