4. Основы теории подобия. Три теоремы подобия. Моделирование

Модель– естественный или искусственный объект, находящий- ся в соответствии с изучаемым объектом (натурой) или с какой-либо из егосторон.

Моделирование– метод получения информации об объекте в результате исследования модели, которая находится с ним в некото- ром объективном соответствии и способна на отдельных этапах ис- следования представлять в определенном отношении изучаемый объ- ект. Позволяет изучить качественные и количественные свойства яв- лений одинаковой (физическая модель) и различной физической при- роды (математическая модель).

Учение о подобии и моделировании появилось более четырех- сот лет назад. В середине XV века обоснованием методов моделиро- вания занимался Леонардо да Винчи. «Говорят, – пишет он, – что ма- ленькие модели ни в одном своем действии не соответствуют эффекту больших. Здесь я намерен показать, что это заключение ложно...» [15]. Далее он пытается вывести общие аналитические закономерности и приводит многочисленные примеры. Так, рассматривая бурение дере- ва, он устанавливает соотношения между площадью, силой и количе- ством дерева, удаляемого бурами разных размеров. Не различая до- статочно механического и геометрического подобия, Леонардо в сво- их работах не получает общих законов подобия, но тем не менее дела- ет серьезные шаги в направлении их создания. Одновременно он пользуется и аналогиями: «Напиши о плавании под водой и получишь летание птицы по воздуху», — рекомендует он, при этом обращая внимание на необходимость проверки: «...движется ли конец крыла птицы так же, как и рука пловца». В этих далеко по времени отстоя- щих от нас работах ставится актуальный и сегодня вопрос о соотно-

шении опыта и теории, о необходимости проверки и обобщении ре- зультатов опыта и его роли в познании.

В связи с созданием различных конструкций и их моделирова- нием вопросы подобия часто возникали в XVI – XVII вв. Галилей в своем сочинении «Разговоры о двух новых науках» писал, что учению о подобии стали уделять много внимания в XVII в., когда в Венеции стали сооружать галеры, имевшие большие, чем раньше, размеры. Подпорки, выбранные исходя из геометрического подобия, оказались непрочными, и их размеры пришлось корректировать на основе физи- ческих соотношений. «Прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел», – констатиро- вал Галилей [16]. Мариотт в 1679 г. в трактате о соударяющихся телах занимался вопросами теории механического подобия, развивая идеи Леонардо и Галилея.

Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнения этого понятия были даны применительно к механическому движению в конце XVII в. Ньютоном в работе «Математические начала натуральной философии». В этой работе рассматриваются движения материальных тел и устанавливаются законы их подобия. Прямая теорема подобия и основные положения подобия, сформули- рованные Ньютоном, заложили основы современного учения о подо- бии, указав свойства подобных механических систем и критерии, ха- рактеризующие движение систем, подобие которых обеспечено (пер- вая теорема подобия). Ньютон открыл пути применения подобия и моделирования для обоснования теоретических положений. Работы Ньютона по теории подобия и моделирования долгое время не полу- чали дальнейшего развития и не находили практического применения, хотя в начале XVIII в. во Франции и других странах ставились много- численные опыты на моделях арок и проверялись различные гипотезы работы их свода.

Одним из первых теоретически обоснованно применил статиче- ское подобие при разработке проекта арочного моста через Неву про- летом 300 м известный русский изобретатель И. П. Кулибин. Свои ис- следования он проводил на деревянных моделях в 1/10 натуральной величины весом свыше 5 т (модели эти были построены и испытаны в 1775 – 1776 гг. в Петербурге). В них было впервые учтено, что изме- нение линейных размеров вкраз меняет собственный вес вк'раз, а площади поперечных сечений элементов – вк²раз. И. П. Кулибин установил, что модели вкнатуральной величины имеют напряжения от собственного веса вкраз меньше, чем напряжения в оригинале. Обеспечение полного подобия влияния собственного веса в модели возможно при некой дополнительной нагрузке. Действующая на мост полезная нагрузка должна быть вк²раз меньше. Эти положения И. П. Кулибина об условиях подобия были проверены и одобрены Л. Эйлером. Предложенный И. П. Кулибиным метод моделирования собственного веса конструкции соответствует современномуспособу

«догрузки» моделей в центрифугах. В дальнейшем появление новых материалов и конструкций потребовало более точных ответов на мно- гие вопросы, связанные с применением моделей в инженерной прак- тике, и теория подобия получила дальнейшее развитие.

В 1822 г. появилась работа Фурье «Аналитическая теория теп- лопроводности», в которой было показано, что члены уравнений, опи- сывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размер- ность. Это свойство получило название правила Фурье, или правила размерной однородности уравнений математической физики. В 1848 г. Бертран, пользуясь методом подобных преобразований, установил наиболее общие свойства подобных механических движений и указал способы осуществления подобия сложного механического движения, четко сформулировав положение о наличии критериев подобия. Вско- ре появился ряд работ, посвященных приложению теории подобия к

различным механическим явлениям. Так, Коши вывел законы звуко- вых явлений в геометрически подобных телах из уравнений движений упругих тел; Гельмгольц получил условия подобия гидродинамиче- ских явлений; Филлипс распространил законы колебаний мостов на случай динамической нагрузки.

В 1874 г. В. Л. Кирпичев опубликовал первую работу, посвя- щенную исследованию упругих явлений в геометрически подобных телах, а несколько позднее сформулировал условия подобия упругих тел (обратная теорема подобия). В 1878 г. Бертран показал, что, поль- зуясь правилом размерной однородности физических уравнений, можно находить математические зависимости между физическими величинами и в тех случаях, когда уравнения связи между этими ве- личинами неизвестны. Математическая зависимость между такими величинами должна быть зависимостью между безразмерными ком- плексами, составленными из указанных величин. Бертран показал, что такие зависимости, полученные для частных случаев, распространя- ются на группы подобных явлений. Ряд работ, посвященных законам подобия, опубликовал В. Л. Кирпичев, который на основе анализа дифференциальных уравнений установил закон механического подо- бия при упругих деформациях. Он детально рассмотрел вопросы уче- та собственного веса конструкций, сил инерции и сформулировал правила моделирования, пригодные в артиллерийском деле и строи- тельстве.

Методы моделирования далеко не сразу получили признание. Как правило, они встречались сначала недоверием. Поучительным ис- торическим примером недооценки роли моделирования может слу- жить гибель броненосца «Кэптен», построенного в 1870 г. В то время английские ученые-кораблестроители Фруд и Рид создали теорию мо- делирования кораблей, которая в последствии была существенно раз- вита в России академиком А. Н. Крыловым. На основе экспериментов

на моделях теория происходящих явлений уточнялась и давала пол- ную картину поведения «натуры». Исследования модели показали, что броненосец должен опрокинуться даже при небольшом волнении. Специалисты Адмиралтейства не сочли моделирование серьезным до- казательством. При выходе в море «Кэптен» перевернулся и 523 мо- ряка погибли. Мемориальная доска, установленная в Лондоне, симво- лизирует осуждение лордов Адмиралтейства, не поверивших ученым и их опытам с «игрушечноймоделью».

Не столь трагичная, но неприятная ошибка, совершенная в наше время, потребовала смены всех окон нового 60-этажного здания в г. Бостоне (США) и обошлась в 7 млн. долл. Как надо переделатьок-на, указали тщательные испытания модели здания в аэродинамиче- ской трубе, выявившие особенности ветровых нагрузок на стены и указавшие, как исправить просчет проектировщиков, своевременно не прибегших кмоделированию.

Методы моделирования давно применяются во многих областях техники. Их применил при сооружении железнодорожных мостов Д. И. Журавский. Ранее для определения размеров составных частей ферм мостов применялись упрощенные приемы и все раскосы и тяжи каждой фермы моста делались одного и того же размера. Выводы о том, что их нагрузки неодинаковы, сначала казались неправдоподоб- ными и были проверены на модели из металлической проволоки.Припроведении проводя смычком от скрипки по проволокам модели, рас- положенным вблизи опоры фермы, получается более высокий тон, чем на проволоках, расположенных в середине. Из чего следует, что первые нужно натянуть значительно сильнеевторых.

Моделирование широко применялось в строительстве и артил- лерии (В. Л. Кирпичев), а далее - при изучении работы самых различ- ных технических установок, гидравлических сооружений, строитель- ных конструкций. На моделях стали изучать течение водных потоков,

различные гидродинамические явления, происходящие при мощных взрывах, и даже явления, происходящие при землетрясениях (имити- руя с помощью специальной вибрационной платформы колебания земной поверхности). При этом для отработки антисейсмичности кон- струкций модель иногда имеет далеко не маленькие размеры: площадь ее достигает 20 м², а вес конструкции доходит до 30 т.

В настоящее время, когда компьютерная техника обладает огромным быстродействием и памятью, математическое моделирова- ние получило мощный инструмент. Появилась возможность решать многие недоступные ранее задачи. Математическая цифровая модель может выдавать информацию человеку в самой различной форме: в виде таблиц, графиков, объемных изображений. Область применения математически формализованных моделей все время расширяется: в экономике, биологии, медицине, исторических и других обществен- ных науках, т. е. в самых разнообразных областях.

За последние 50 лет все крупные сооружения исследовались на моделях. Например, гидроэнергетические объекты (плотины, каналы, гидротурбины для таких станций, как Волжская ГЭС им. В. И. Лени- на, Волгоградская ГЭС, Братская ГЭС, Красноярская ГЭС, Асуанская ГЭС в АРЕ и др.) исследовались на физических моделях, изображаю- щих в уменьшенном масштабе эти грандиозные сооружения. Большое значение для сооружения электрических систем и дальних электропе- редач имели исследования их режимов на физических моделях, созда- ваемых в стадии проектирования и позволяющих проверить теорети- ческие положения, лежащие в основе расчетов, и действие различных регулирующих устройств, аппаратуры, релейной защиты и т. д. При создании и совершенствовании межконтинентальных и космических ракет на физических моделях успешно проводились исследования аэродинамических свойств ракет, влияния ионизации воздуха впереди головной части ракеты и т. д.

Широко распространенные специальные модели, обычно вы- полняемые в виде сочетания физической и математической моделей с натурными приборами, стали применяться для наладки приборов управления и тренировки персонала, управляющего различными сложными объектами. В первом случае эти модели стали называтьсяиспытательными стендами,а во втором –тренажерами.Тренажеры применяются для обучения различного эксплуатационного персонала; особое значение они имеют при подготовке летчиков, подводников, космонавтов.

Обычно приборы и органы управления в тренажерах сохраня- ются нормальными, применяемыми в практике. Воздействие на эти приборы преобразуется в импульсы, моделирующие поведение управ- ляемого объекта. Например, тренажеры для летчиков воспроизводят у обучаемого все физические ощущения, связанные с полетом в любом направлении, подъемом, спуском.

В последнее время особое значение приобрело моделированиебиологических и физиологическихпроцессов. Так, создаются протезы тех или иных органов человека, управляемые биотоками. Разрабаты- ваются установки, моделирующие условия, необходимые для разви- тия живых тканей и организмов.

Моделирование требует объективного соответствия изучаемому объекту и возможности замещения его не всегда и во всем, а только на определенных этапах исследования. Модель, какой бы она ни была, должна обладать способностью в ходе исследования давать некото- рую допускающую проверку информацию. Моделирование требует формулировки некоторых правил перевода информации, полученной при изучении на модели, в информацию о самом моделируемом объ- екте. Эти правила в конечном счете ведут к требованию соответствия математических соотношений (критериев подобия) у модели и ори- гинала.

При моделировании необходимо знать соотношения, устанавли- вающиеусловия переходаот моделей к исследуемому объекту. Такие соотношения называюткритериями подобия или масштабами.

Различаютгеометрическое, афинное и конформное подобие материальных систем [15].