2. Симметричные композиционные планы типаBn

Симметричные композиционные планы типа Bⁿсостоят из ядра и осевых точек. Центральных точек они не содержатn₀= 0, и при лю-^{бых n осевое плечо равно}1^{.В табл. 3.14 показан планВ2.}

g	x1	x2	g	x1	x2	g	x1	x2
1 2 3	–1 +1 –1	–1 –1 +1	4 5 6	+1 –1 +1	+1 0 0	7 8	0 0	–1 +1

Таблица 3.14 Матрица симметричного композиционного планаB₂

Коэффициенты регрессии определяют по формулам :

N

b^aNy

• b ⁿ

Nx²y,

0 ^ gg1

^ i _g gi1g1

(3.28)

N

N



N

b ¹ xy,

i ^

₂ g1

^{ig g}

(3.29)

N



b ¹ Nx xy,

ij ^

₃ g1

i j_gg

(3.30)

b^c nx^2y ^d n

Nx^2y ^b Ny

ii _N^

ⁱg^g

_N^{ igg} _N^{ g.}

(3.31)

g1

i1

g1

g1

Дисперсии оценок коэффициентов регрессии определяют по формулам :

0

S²b

^aS2y,

N

(3.32)

S²b

N^1S2y,

(3.33)

S b



i 2

2

ij 3

N1S^2y,

(3.34)

S²b

^cdS2y.

ii

N

(3.35)

2. Определение координат точки экстремума по регрессионной модели и построениедвумерного

сечения поверхности отклика

После получения регрессионной модели координаты точки оп- тимума определяют известными аналитическими методами оптимиза- ции (дифференциальное, вариационное исчисление и др.).

Координаты центра поверхности отклика (экстремум) можно определить путем взятия частных производных по каждому фактору из уравнения регрессии и приравнивания выражений кнулю.

Например, для уравнения регрессии с двумя факторами х₁и х₂

_dy

bb x2b x0

^dx

1 122 111

^ 1 (3.36)

_dyb

• b x2bx

0.

^dx₂

2 121 22 2

В результате решения системы дифференциальных уравнений определяют координаты центра поверхности отклика х_1Sи x_2S. Под- ставив значения x_1Sи x_2Sв уравнение регрессии, получают значение функции отклика в точке экстремума у_S.

Для построения двумерного сечения поверхности отклика нача- ло координат переносят в точку экстремума.

Угол поворота новых осей относительно старых определяют по формуле

t_g2

^bif^bii^bff

. (3.37)

Затем проводят каноническое преобразование регрессионной модели [11].

Коэффициенты регрессии в канонической форме В₁₁и В₂₂опре- деляют решением характеристического уравнения

bB ^1b

11

f(B)

₂12

B²(b

• b)B(bb

¹b2

)0. (3.38)

^1b b B

11 22

11 22

₄12

₂₁₂ 22

Уравнение регрессии, представленное в канонической форме, имеет вид

11 1

2

YY_SBX²B₂₂X², (3.39)

где Y – значение критерия оптимизации; Y_S– значение критерия оптимизации в точке оптимума; X₁, X₂– новые оси координат, повер- нутые относительно старых осей х₁и х₂; В₁₁, В₁₂– коэффициенты ре- грессии в канонической форме.

Придавая различные значения критерию оптимизации в канони- ческом уравнении (3.39), получают уравнения кривых равного значе- ния критерия оптимизации (кривых равного отклика), по которым строят двумерное сечение поверхности отклика (серию кривых равно- го выхода – изолиний). На основе анализа двумерного сечения окон- чательно определяют область оптимума критерия оптимизации.

Пример 7.Определить оптимальный состав полимерной компо- зиции на основе анаэробного герметика АН-111, наполненного мик- ротальком Талькон Т-20 и бронзовой пудрой БПП [14].

Предварительные эксперименты показали нелинейный характер зависимости деформационно-прочностных свойств клеевых соедине- ний композиции на основе анаэробного герметика АН-111 от степени

наполнения микротальком Талькон Т-20 и бронзовой пудрой БПП. Поэтому для определения оптимального состава композиции был проведён многофакторный эксперимент по плану В₂, который позво- ляет получить регрессионную модель в виде полинома второго поряд- ка.

11

1

2

yb₀b₁X₁b₂X₂b₁₂X₁X₂b X²b₂₂X².

Матрица планирования представлена в табл. 3.15

Таблица 3.15 Матрица планирования композиционного плана B₂

№ опыта	X0	X1	X2	X1X2	X2 1	X2 2	Y
1 2 3 4 5 6 7 8	+ + + + + + + +	- + - + - + 0 0	- - + + 0 0 - +	+ - - + 0 0 0 0	+ + + + + + 0 0	+ + + + 0 0 + +	Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8

Пользуясь таблицей случайных чисел, опыты проводили в сле- дующем порядке: 3, 1, 8, 7, 2, 6, 5, 4.

В качестве независимых факторов приняли концентрации мик- роталька Талькон Т-20 и бронзовой пудры БПП, а в качестве функции отклика – удельную работу разрушения клеевых соединений, так как она является показателем работы материала при динамическом нагружении. На основе предварительных экспериментов определили уровни и интервалы варьирования факторов, которые представлены в табл. 3.16.

Для каждой строки матрицы по результатам опытов определяли среднеарифметическое значение выходного параметра оптимизациии

их дисперсии, представленные в табл. 3.17.

Таблица 3.16 Уровни и интервалы варьирования факторов

Наименование фактора	Кодированное обозначение фактора	Уровни варьирования фактора			Интервалы варьирова- ния фактора
		нижний	нулевой	верхний
Концентрация: микроталька бронзовой пудры	X1X2	0,1 2	1,05 10	2 18	0,95 8

С учётом равного количества опытов в каждой строке матрицы планирования проверку однородности дисперсий выполняли по кри- терию Кохрена. При этом расчётное значение критерия составилоG_p0,209, а табличное –G_T=0,5157.

УсловиеG_p

G_Т

выполняется, поэтому гипотеза об однородно-

сти дисперсий принимается.

Таблица 3.17 План В₂и результаты многофакторного эксперимента

№ п/п	Х1	Х2	У1	У2	У3	yg	ŷi	S2 g
1	-1	-1	11,11	11,06	11,01	11,06	11,197	0,002
2	+1	-1	9,13	9,1	8,97	9,07	8,925	0,007
3	-1	+1	11,63	11,07	11,52	11,52	11,662	0,165
4	+1	+1	5,65	5,83	5,27	5,58	5,447	0,082
5	-1	0	11,63	10,71	11,16	11,17	10,888	0,212
6	+1	0	6,05	6,37	6,68	6,37	6,645	0,099
7	0	-1	10,88	10,71	11,5	11,03	11,035	0,173
8	0	+1	9,14	9,54	9,92	9,53	9,528	0,152

Дисперсия воспроизводимости результатов эксперимента

e

S²3,54.

Коэффициенты регрессии составили:

b₀48,64,

b₁2,115,

b₂3,315,b₁₂

0,498,b₁₁

5,228,

^b22

11,428.

2

S

Дисперсии оценок коэффициентов регрессии :

S

b0

_b1

S

² 1,475, ²

² 0,197,

S_b12

0,295,

2

S

_b11

2

S

_b22

0,885.

_b2

Проведена оценка значимости коэффициентов регрессии. Коэф- фициент можно считать значимым в том случае, если его абсолютное

значение больше значения доверительного интервала

b_i

t_TS_bi.

Табличное значение коэффициента Стьюдентаt_T= 2,12.

b₀3,127b₀48,64,

b₁b₂0,418b₁2,115,b₂3,315,

b₁₁

b₂₂

1,867b₁₁

5,228,b₂₂

11,428,

b₁₂

0,625b₁₂

0,498.

Все коэффициенты, кромеb₁₂, значимы.

Уравнение регрессии имеет вид

1

2

y48,642,12x₁3,32x₂5,23x²11,43x².

Затем раскодировали уравнение регрессии в натуральных еди- ницах с учётом того, что перевод натуральных значений факторов в кодированные осуществляют по формулам :

_xx11,05_,

¹ 0,95

_{x x2}10_.

² 8

Уравнение регрессии в натуральных единицах получило вид

1

2

y26,1214,41x₁3,16x₂5,8x²0,18x².

Далее рассчитали по данному уравнению регрессии значения отклика в точках плана :

y^ˆ_133,1;

y^ˆ_237,34;

y^ˆ_326,06;

y^ˆ_430,30;

y^ˆ_541,1;

y^ˆ_645,34;

y^ˆ_740,46;

y^ˆ_833,42.

Проверку адекватности уравнения регрессии выполнили по кри- терию Фишера, при этом условие адекватностиF_p<F_T.

Определили выборочную дисперсию

S²1,43.

Табличное значение F-критерия Фишера составляетF_T3,2.

Расчётное значение критерияF_p

1,211F_T

3,2, следова-

тельно, регрессионная модель адекватна.

Проверку работоспособности регрессионной модели производи- ли по коэффициенту детерминации





^N 2 ₂^



m_ (Y_gY)(Nd^*)S

N

_R2_^{g1 }_.

e

m_

g1

(Y_g

Y)2N(m1)S²

Регрессионная модель считается работоспособной, если выпол-

няется условие

R²0,75.

Коэффициентдетерминации

R²0,950,75, поэтому регрес-

сионная модель работоспособна. На рис. 3.17 показана поверхность отклика регрессионной модели.

Рис. 3.17. Зависимость удельной работы разрушения композиции на основе герметика АН-111 от концентрации микроталька Талькон Т-20 и бронзовой пудры БПП

С целью оптимизации функции отклика и определения области оптимума критерия оптимизации проводили каноническое преобразо- вание регрессионной модели [11].

Для этого находили координаты центра поверхности отклика (экстремум) путём взятия частных производных по каждому фактору из системы уравнений, приравнивания при этом выражения к нулю

_dy

^dx

2,11525,228x₁0

_ 1 _.

_dy

^_dx₂

3,315211,428x₂0

В результате решения системы уравнений определены коорди- наты центра поверхности отклика X_1S= 0,202, X_2S= –0,145 в кодиро- ванных единицах и x_1S= 1,24 масс. ч., x_2S= 9,98 масс. ч. в натураль- ных единицах.

Подставив значение координат центра поверхности отклика в уравнение регрессии в раскодированном виде, получили значение от- клика в точке экстремумаy_S= 48,93МДж/м³.

Так как коэффициентb₁₂не значим, угол поворота новых осей относительно старых не осуществляем.

Коэффициенты регрессии в канонической форме В₁₁и В₂₂опре- деляли решением характеристического уравнения

f(B)B²16,66B59,750,

^B11

22

8,33

8,333,11,

B₁₁=– 11,43, B₂₂= –5,22.

Правильность вычислений проверяли сравнением сумм коэф- фициентов при квадратичных членах

– 5,228 – 11,428 = – 16,66,

– 5,22 – 11,43 = – 16,65.

Суммы коэффициентов при квадратичных членах совпадают.

После определения коэффициентов В₁₁и В₂₂уравнение регрес- сии, представленное в канонической форме, получило вид

Y48,9311,43X²5,22X².

1 2

Придавая различные значения критерию оптимизации в канони- ческом уравнении, получили уравнения кривых равного значения критерия оптимизации, по которым строили двумерное сечение по- верхности отклика (серию кривых равного выхода – изолиний). На основе анализа двумерного сечения определили область оптимума критерия оптимизации. На рис. 3.18 показано двумерное сечение по- верхности отклика.

Рис. 3.18. Двумерное сечение поверхности отклика

Таким образом, максимальной удельной работой разрушения 48,9 МДж/м³обладает композиция, содержащая 100 масс.-ч. АН-111, 9,6 масс-ч. микроталька Талькон Т-20 и 1,2 масс-ч. бронзовой пудры БПП.