2. Ротатабельныепланы

Ротатабельные планы – планы, у которых точки плана распо- ложены на окружностях (сферах, гиперсферах). В ротатабельном плане первого порядка точки плана расположены на одной окружно- сти (сфере, гиперсфере) с радиусомR..

constR,

гдеV=1,…,N- номер точки плана,i=1,…,n– номер фактора.

При таком плане точность оценивания функции отклика в лю- бом направлении факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая.

Ротатабельный план может быть симметричным, когда точки плана располагаются симметрично друг другу. Например, план ПФЭ 2ⁿявляется ротатабельным симметричным планом первогопорядка.

У ротатабельных планов второго порядка точки плана располо- жены на двух концентрических гиперсферах с радиусамиR₁иR₂, ко- торые определяются формулами :

const₁R₁,

дляV= 1,…,n₀и

const₂R₂,

дляW= 1,…,n₀,

гдеVиW– текущие номера точек плана в двух подмножествах опы- товN₀иn₀из общего количества опытовN, которые относятся к двум разным концентрическим сферам. В случае, когдаR₂= 0, одна из сфер будет вырожденной.

N

Ротатабельный план является ортогональным, если выполняется условие ортогональности

_xiux_ju0,

u1

где

i1,...,m;j1,...,m;mn,i

^j– номера столбцов плана.

Ротатабельный ортогональный центрально-композиционныйплан

Ротатабельный ортогональный центрально-композиционный план (РОЦКП) строится аналогично ОЦКП. К ядру плана (это план ПФЭ 2ⁿ) добавляют «звездные» точки – по две на каждый фактор и несколько точек в центре плана. «Звездные» точки должны распола- гаться на поверхности гиперсферы с радиусомR, на которой лежат и точки плана ПФЭ 2ⁿ, то есть плечо «звездных» точек α должно рав- няться радиусуR. Это обеспечивается при выполнении условия орто- гональности, только при соответствующем выборе числа наблюдений в центральной (нулевой) точке планаn₀. Если в ОЦКПn₀= 1 для лю- бого числаn, то для РОЦКПn₀зависит от числа факторовn.

Радиус сферы, на которой лежат точки плана ПФЭ2ⁿпри двух уровнях варьирования факторов с диапазоном 1

R ^.

В зависимости от количества факторов значение радиуса меня- ется (рис.3.16).

Поэтому, при построении РОЦКП с ядром из плана ПФЭ 2ⁿпле- чо «звездных» точек определяется количеством факторов

 ^.

Параметры РОЦКП аналогичны параметрам ОЦКП второго по- рядка с ядром из плана ПФЭ 2ⁿ:

^NN₀^2nn₀– полное число точек композиционного плана второго порядка;

a ^{– константа преобразования элементов столбцов, соответ-}ствующих квадратам факторов.

а б в

Рис. 3.16. Радиус окружности (сферы), на которой лежат точки плана ПФЭ 2ⁿпри диапазоне варьирования факторов от –1 до +1: а) – n = 1,

_R11; б) – n = 2,R

21,414;в)–n=3,R

31,732

Количество наблюдений в центре плана РОЦКП определяют по формуле





4n²

n_{0 2n} 2n.

Еслиn₀принимает не целое значение, то при практическом по- строении плана его округляют до целого, однако при этом свойство ортогональности плана нарушается. В табл. 3.12. приведены парамет- ры РОЦКП в зависимости от числа факторов.

Пример 6.План ротатабельного ортогонального центрально- композиционного плана дляn= 2 с результатами эксперимента

Параметры плана:

0

 n₀8,

N2²4,

N2²22n16,

0

à 0,5,1à0,5,

- a-0,5,

²a20,51,5 .

Таблица 3.12 Параметры РОЦКП в зависимости от числа факторов

Опыты в центре плана (точки с 9 по 16) не проводят восемь раз. Проводят только один опыт, результат которого записывают во все восемь строк. Строки сокращать нельзя, так как нарушается свойство ортогональности, и коэффициенты полинома будут определены не- верно.

Коэффициенты квадратичного полинома рассчитают по ранее приведенным формулам.

В табл. 3.13 приведен РОЦКП, который представляет собой рас- смотренный ранее план ПФЭ 2²с добавленными опытами 5-16.

_в6347551328_{503,125,}

⁰ 16 16

_â634751,41451,414100_00,

в0,6035,

1 41^221,414^2100^{2 8 2}

^в12

6347120_{1,5 ,}

41²

_в0,563471,5550,51382_{151,875,}

¹¹ 140,5^221,5² 8

^в22

0,563470,5551,5130,528_0,375.

8

Таблица 3.13 РОЦКП при двух факторах и результаты его реализации

Уравнение регрессии получит вид

РОЦКЛ

Y^ˆ b

• bx

• bx

• b x xb

_x^2a_b

_x^2a_3,1250x

0 11 22 121 2 11 1 11 2 1

0,6035x1,5xx1,875_x^20,5_0,375_x^20,5_20x0,6035x

2 12 1 2 1 2

1,5x x1,875x^20,375x².

12 1 2

В предпоследнем и последнем столбцах плана (табл. 3.13) при- ведены расчетные значения функции отклика и расхождения со зна- чениями опытов.