3.5.1 Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка

План называется центральным, если все точки расположены симметрично относительно центра плана. ОЦКП – центральный сим- метричный ортогональный композиционный план.

В ОЦКП входят: ядро – план ПФЭ сN₀= 2ⁿточками плана,n₀

(одна для этого плана) центральная точка плана

^(x_i^{0,i1,2,3,...n)}и

по две «звездные» точки для каждого фактора

10. _i,

x_j0,

i1,2,3,...n;j1,2,3...n;i

^j, α – плечо «звездных» точек.

При этом в каждой плоскости, содержащей осьYи координат- ную осьi-того фактора (проходящую через центр плана), оказываются

три значения факторах_iY.

(,0,)

и три соответствующих значения

Общее количество точек в плане ОЦКП составляет

0

N2ⁿ2nn,

где для ОЦКПn₀= 1.

Графическое изображение ОЦКП для n = 3 показано на рис.3.15.

Рис. 3.15. Графическое изображение ОЦКП при количестве фак-

торовn= 3

В общем случае ортогональный центрально-композиционный план при трех (n) факторах представлен в таблице 3.8. В ОЦКП каж- дый фактор фиксируется на пяти уровнях , -1, 0, 1, ).

Таблица 3.8 Ортогональный центрально-композиционный план при трех факторах

Величину а, которая зависит от количества факторов, называют константой преобразования и ее значение определяют по формуле

a 

. (3.24) .

Плечо звездных точек α рассчитывают по формуле

 _{ }^{. (3.25)}

Например, ОЦКП при числе факторовn= 3 будет иметь следу- ющие параметры плана :

0

N 2³

8,

N813115^,

a 0,73;

^115881,215,

2

1a0,27,

a0,73,

²a1,215²0,730,75.

Соответственно ОЦКП примет вид (табл. 3.9) [13].

Таблица 3.9 Ортогональный центрально-композиционный план с кодированными

значениями трех факторов

При реализации опытов плана формируется полином

Y^ˆb₀b₁x₁b₂x₂b₃x₃b₁₂x₁x₂b₁₃x₁x₃b₂₃x₂x₃b₁₂₃x₁x₂x₃

4 1 5 2 6 2

b_x^2a_b_x^2a_b_x^3a_.

(3.26)

После преобразования формула (3.26) примет традиционный вид полинома второгопорядка

Y^ˆb^bxbx

• b xb xx

• b x xb x xb

x x xb x²b x²b x³,

/

0 11 22

33 12 12

1313 23 23

123 123 41

52 62

b

где

₀b₀

• b₄

• ab₅

• ab₆

• a.

Коэффициенты полинома ляют по формуле

b₀,b₁,b₂,b₃,b₁₂,b₁₃,b₂₃,b₁₂₃,b₄,b₅,b_{6опреде-}

N

_x

i

N

^xiu^Yu_bu1 _.

2

iu

(3.27)

u1

В табл. 3.10 приведены значения параметров ОЦКП при различ- ном количестве факторовn.

Таблица 3.10 Значения параметров ОЦКП при различном количестве факторовn

Количество факторов	Параметры плана ОЦКП
	Плечо звездных точек α	Константа преоб- разования а	Количество опы- тов в плане N
2	1	0,667	9
3	1,215	0,73	15
4	1,414	0,8	25
5	1,596	0,86	43
6	1,761	0,91	77
7	1,909	0,946	143
8	2,045	0,968	273

Пример 5.План ОЦКП дляn= 2 с результатами экспери- мента

Параметры плана :N₀= 4,N= 9, α = 1, а = 2/3, 1– а = 1/3,

–а = – 2/3,

^{a2a2 / 3}.

План представляет собой ядро плана ПФЭ 2²с добавленными опытами 5 – 9.

Таблица 3.11 Ортогональный центрально-композиционный план с

кодированными значениями двух факторов

Коэффициенты регрессии определим по формуле (3.27)

^x0^Y0

9

_b0U1 _

634755132

4;



x

₂ 9

0U

U1

b₁

634755010302_0;

6

_b634705051302_0,67;

2 ₆

^b12

_6347_1,5;

4

_{b1/ 3(6}34755)2 / 3(132)_3;

³ 6(1/3)^23(2/3)²

_{b1/ 3(6}34713)2 / 3(552)_0.

4 ₂

После подстановки значений коэффициентов регрессии в поли- ном и его преобразования получим уравнение регрессии

Y^ˆ40x0,67x3(x^20,67)0(x²0,67)1,5xx

1 2 1 2 12

20,67x3x²1,5xx.

2 1 12

В табл. 3.11 приведены расчетные значения функции отклика_Y^ˆ

и их отклонения от опытных значений функции отклика

^Yˆ_u^Y_u,

подтверждающие достаточно высокую точность уравнения регрессии.