5. Планирование активного эксперимента по планам второго порядка

Планами второго порядканазываются планы активного экспе- римента, позволяющие определить оценки коэффициентов регресси- онной модели в виде полинома 2-го порядка, хорошо описывающего участки поверхности отклика со значительной кривизной

yb₀

• _b_ixi

1

• ^bij^xi^xj

1

^bii

1

x².

i

В приложении Г представлены широко используемые планы второго порядка.

Чтобы получить регрессионную модель, необходимо, чтобы число уровней варьированияd_iкаждого из факторовx_i(i=1...n) по крайней мере на единицу превышало степень самого полинома, т.е.d_i

3.

Полином второго порядка в количестве факторовn= 2 содержит 6 членов

Y^ˆb

• bx

• bx

• b xx

• bx²b

x^2,

(3.22)

0 11

22 12 12

11 1

22 2

приn= 3 содержит 11 членов

Y^ˆb₀b₁x₁b₂x₂b₃x₃b₁₂x₁x₂b₁₃x₁x₃b₂₃x₂x₃b₁₂₃x₁x₂x₃

111 222 332

b x²b x²b x³.

Наиболее простым по построению является план ПФЭ 3ⁿ. Каж- дый фактор в этом плане варьирует на трех уровнях (-1, 0, +1). Однако при количестве факторов более двух, число точек спектра плана N резко увеличивается. Поэтому этот план используют ограниченно. Более рациональным является применение центрально- композиционных планов (табл. 3.6).

Основная компонента центрально-композиционного плана – спектр плана ПФЭ 2ⁿи ДФЭ 2^n-p+ компоненты:

1. компонента:N₁=2ⁿ(2^n-p) точек с координатами1,1,1;

2. компонента: осевые точкиN_=2*n, попарно расположенные наосяхx_iнарасстояниях₁..._nотначалакоординат.Есливсе

осевые плечи равны, т.е.₁=₂= ... =_n=, то такой ЦКП симметрич- ный.

3. компонента:N₀центральных точек, расположенных в начале координат (0, 0 ...0).

Таблица 3.6 Количество точек в плане в зависимости от числа факторов

Количество факторов	Вид плана
	ЦКП	ПФЭ 32
2	9	9
3	15	27
4	25	81
5	43	243
6	77	729

Все эти компоненты образуют спектр ЦКП 2-го порядка. Общее число точек спектра ЦКП

NN₁

• N_

• N₀

^{2np2n1}. (3.23)

При этом, если p = 0, ядром плана является план ПФЭ 2ⁿ.

В ЦКП каждый фактор варьируется на 5 уровнях (табл. 3.7). Последовательность решения задач регрессии.

Вначале ставят опыты 1-4, составляющие ядро плана и позво- ляющие определить либо оценку линейной регрессионной по факто- рам, либо оценку неполно-квадратичной регрессионной модели

y^ˆ(x,b)b_0b_1x_1b_2x_2,

y^ˆ(x,b)b₀

b₁x₁b₂x₂

b₁₂x₁x₂.

Таблица 3.7 Спектры симметричного ЦКП (n=2;N₀=1)

g	x1	x2	Примечание
1 2 3 4	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	Ядро плана ПФЭ22
5 6 7 8	- +0 0	0 0 - +	Осевые точки
9	0	0	Центр-точка

Если регрессионные модели окажутся неадекватными функции отклика, то добавляют опыты 5-9, что позволит получить регрессион- ную модель (3.22) приn= 2.

Если ранее был сформирован план ПФЭ и точность его функции отклика не удовлетворяет, то возможно достроить этот план до плана второго порядка (композиционный план) и сформировать функцию отклика в виде полного полинома второго порядка, без потери ин- формации, полученной ранее в опытах ПФЭ.