Симплексный метод

Симплексный метод планирования позволяет без предвари- тельного изучения влияния факторов найти область оптимума. Метод не требует расчета градиента функции отклика, и поэтому относится к безградиентным методам поиска оптимума. Для поиска области опти- мума используют специальный план эксперимента в виде симплекса.

Симплекс – это простейший выпуклый многогранник, образо- ванный n+1 вершинами в n-мерном пространстве, которые соединены между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин сим- плекса являются значениями факторов в отдельных опытах.

Симплекс на плоскости (n=2) является треугольником, в трех- мерном пространстве (n=3) – тетраэдром, вn-мерном пространстве – многогранником. Симплекс называется правильным (регулярным), если в нем расстояние между двумя любыми вершинами есть величи-

на постоянная.

Особенность метода заключается в совмещении процессов изу- чения поверхностей отклика и перемещения по ней благодаря тому, что эксперименты проводят в точках факторного пространства в соот- ветствующих вершинах симплексов.

Сущность метода.Линиями постоянного уровня на нормиро- ванной факторной плоскости изображена одноэкстремальная поверх- ность отклика, нанесены факторные границыx_iminиx_imaxдляi=1,2. Штриховкой отмечена область недопустимых значений факторов. Начальная точкаx₀является лучшей из известных режимов процесса. Эту точку принимают за вершину или центр начального симметрич- ного симплекс-плана.

На рис. 3.11. изображен начальный правильный симплекс 1 с единичной стороной, одной из вершин которого является начальная точкаx₀.

Рис. 3.11. Иллюстрация симплексного метода

Движение к экстремуму на каждом шаге осуществляется пере- ходом от рассматриваемого симплекса к новому. Для этого выявляют в рассматриваемом симплексе наихудшую вершину (т.2), отбрасыва- ют ее и строят точку симметричную (зеркальную) к ней относительно центра (n-1)-мерной оставшейся грани симплекса (т.4). Эта зеркальная точка (т.4) и грань образуют новый симплекс 2 прежней размерности, но центр его смещен в сторону экстремума на 1 шаг. Многократное повторение таких шагов приводит в областьэкстремума.

Выбор размеров симплекса и его начального положения в опре- деленной мере произволен. При построении начального симплекса значения факторов в каждом опыте исходного симплекса определяют по формуле

^xij

x_i0C_ijx_i,

гдеx – координаты центра начального симплекса; Δx – интервалва-

i0 i

рьирования i-го фактора; С – кодированное значение i-го фактора для

ij

j-го опыта, выбираемое из числовой матрицы для симплексного пла- нирования, приведенные в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Коэффициенты С для выбора координат симплекса [12]

ij

Номер опыта(↓ j)	Факторы (→ i)
	x1	x2	x3	…	Xn-1	Xn
1	k1	k2	k3	…		Kn
2 3 4 … k k+1	-R1			…		Kn
	0	-R2		…		Kn
	0	0	-R3	…		Kn
	…	…	…	…	…	Kn
	0	0	0	0	Rn-1	Kn
	0	0	0	0	0	Rn

_k1

ⁱ i1

 ¹ ; R

2ii1 ⁱ

ⁱ ;i1,2,...,n,2i1

(3.20)

где n – количество факторов.

Если, например, необходимо составить симплекс-план для двух факторов, то вначале ставят три опыта со следующими координатами:

1-й опыт

x₁₁x₁₀k₁x₁x_21`x₂₀k₂x₂

2-й опыт

^x12

x₁₀R₁x₁

x_22`x₂₀k₂x₂

3-й опыт

^x13

x₁₀0

x_23`x₂₀R₂x₂

На рис. 3.12. показана схема построения начального симплекса. Допустим x =0 и x =0, а Δx =Δx =1, тогда в соответствии сформу-

10 20 1 2

лами (3.20) координаты опытов будут равны: опыт 1 (0,5; 0,289),опыт

2 (-0,5; 0,289) и опыт 3 (0; -0,577) и соответствовать координатам вершин равностороннего треугольника с длиной стороны, равной 1 (рис. 3.13). Начало координат будет находиться в точке пересечения медиан (биссектрис).

Для определения координат новой вершины симплекса, т.е. условий проведения опыта в отраженной точке используют формулу

_{x 2}n1_x

, ji ,

n

ií ^i3 3

j1

(3.21)

гдеx – координата новой вершины симплекса для i-йпеременной;

iн

10. –координатазаменяемойточки(координатавершинысимплексас



iз

наихудшим откликом перед ее отбрасыванием);

_1n1_xⁿj1

• ij

  среднеезна-

чение из координат всех вершин симплекса, кроме заменяемой.

Рис. 3.12 Схема построения начального симплекса

i0 i

Рис. 3.13. Координаты вершин симплекса при x = 0, Δx = 1 и n = 2

Рассмотрим признаки, при которых завершают процесс постро- ения новых симплексов:

1. Разность значений функции отклика в вершинах симплекса меньше ранее заданной величины. Имеет место выход в «почтиста-

ционарную» область вблизи оптимума или достижение участка по-

верхности

yfx₁;...;x_nconst

в виде «плато». В этом случаепро-

водят дополнительные опыты в стороне от симплекса, чтобы убедить- ся в отсутствии других участков с более существенной кривизной по- верхности. В качестве точки оптимума принимают точку в которой функция отклика имеет экстремум.

2. Отражение любой из вершин симплекса после однократного качания приводит к возврату симплекса в прежнее положение. Это означает «накрытие» симплексом точкиоптимума.

3. Циклическое движение симплекса вокруг одной из его вер- шин на протяжении более чем нескольких шагов. Искомый оптимум расположен внутри области, охватываемой циркулирующим симплек- сом.

При появлении второго и третьего признаков необходимо уменьшить размеры симплекса, т.е. расстояния между вершинами, и продолжить поиск, что позволит уточнить координаты искомого оп- тимума.

Достоинства метода:высокая эффективность; на каждом шаге к экстремуму требуется реализовать условия только одного опыта независимо от числа факторов; вычисление координат зеркальных то- чек очень простое и не требует статистического анализа; оптимизация объекта при наличии факторных и функциональных ограничений очень проста; высокая помехозащищенность; решение о направлении движения к оптимуму на каждом шаге принимается после реализации одного опыта, тогда как в других методах необходима серия пробных

опытов.

Пример 4.Допустим, функция отклика описывается уравнением

y412x₁

^x21^30x

3x₂

². Из априорной информации известны

2

координаты «лучшей» точки x = 3 и x = -1, которые и приняты за

10 20

основной уровень. Интервалы варьирования факторов приняты рав- ными Δx = 1 и Δx = 1,5.

1 2

По формулам (3.20) рассчитаем коэффициенты :

k₁

0,5;

R₁

0,5;

k₂

0,289;

R₂

0,577_.

Так как факторов два, симплекс представляет треугольник (n+1=2+1=3). Для построения начального симплекса определим коор- динаты первых трех опытов:

Вершина1: x = 3+0,5·1=3,5; x = -1 + 0,289·1,5 =-0,565;

11 21

Вершина2: x = 3 -0,5·1=2,5; x = -1 + 0,289·1,5 =-0,565;

12 22

Вершина3: x = 3 + 0= 3; x = -1 -0,577·1,5 =-1,865.

13 23

После реализации опытов получены следующие результаты: y=15,84;y=9,78;y=-35,5.Наихудшийрезультатполученвтретьем

1 2 3

опыте y =-35,5.Следовательно, условия опыта 3 следуетзаменить.

3

Геометрическая траектория движения показана на рис. 3.14. Определим координаты вершины 4 нового симплекса :

^х14

_2(3,52,5)_33;

2

^х24

_2(0,5650,565)_{1,8650,735.}

2

Рис. 3.14.Геометрическая траектория движения

В четвертом опыте получен результат -у₄52,1. Из анализа ре- зультатов y₁, y₂и y₄, следует, что наименьший (наихудший) результат имеет вторая точка y₂.

Рассчитаем координаты вершины 5 нового симплекса: x₁₅= 4; x₂₅= 0,735. Результат опыта y₅= 57,1.

Вычисляем координаты вершины 6 для замены вершины 1: x₁₆= 3,5; x₂₆= 2,035. Результат опыта y₆= 82,6.

Затем получим вершины 7 с координатами (4,5; 2,035); 8 (4; 3,3);

9 (5;3,3); 10 (4,5;4,8); 11 (5,5;4,8). Результаты последних трех опытов:

y₉= 105; y₁₀= 113; y₁₁= 112,32.

Определим координаты вершины 12 :

^x112

_24,55,5_55;

2

^x212

^{24,64,6}3,35,9.

2

Результат опытаy₁₂111.

Как видно, точка 12 является наихудшей по сравнению с точка- ми 10 и 11. Поэтому возвращаемся к предыдущему симплексу с вер- шинами 9, 10, 11. Из двух точек 10 и 11 наихудший результат имеет

точка 10. Следовательно, заменяем вершину 10 на вершину 13

^x113

^{255,5}4,56;

2

^x213

^{25,34,6}4,63,3.

2

Результат опыта

y₁₃106.

В новом симплексе с вершинами 9 (5;3,3); 10 (5,5;4,6) и13

(6;3,3) наихудший результат у опыта 9.

Заменим вершину 9 на вершину 14

^x114^

25,56_56,5;

2

^x214

^{24,63,3}3,34,6.

2

Результат опыта

y₁₄114,21.

В новом симплексе из вершин 11, 13 и 14 наихудшей является

точка 13 (y₁₁112,32;

y₁₃106;

y₁₄114,21).

Заменим вершину 13 на вершину 15

^x115^

25,56,5_66;

2

^x215

^{24,64,6}3,35,9.

2

Результат опыта

y₁₅112.

Получен наихудший результат, чем в опытах 11 и 14. Поэтому

возвращаемся к предыдущему симплексу. Из точек 11 и 14 меньший результат в опыте 11. Заменим вершину 11 на вершину 16

^x116

^{26,56}5,57;

2

^x216

^{24,65,9}4,65,9.

2

Результат опыта^y₁₆^111.

Однако это тоже наихудший результат, поэтому в симплексе с вершинами 11, 14 и 15 заменяем точку 14 на точку 17

^x117

^{25,56}6,55;

2

^x217^

24,65,9_{4,65,9.}

2

Вершины 17 и 12 совпадают,

y₁₇y₁₂111.

Вновь получен

наихудший результат. Следовательно, экстремум находится внутри симплекса с вершинами 11, 14 и 15.

Если с точностью до шага варьирования результаты устраивают,

то задача считается решенной. Координаты экстремума

y114,21,

при

этом:

x₁6,5и

x₂4,6.

Если требуется более высокая точность, уменьшают интервал варьирования и от любой вершины двигаются вновь.

Истинные координатыэкстремума:

x₁6и

x₂5;

y115.