Метод градиента

Определяется начальная точка (наилучшая из известных). Зада-

ется шаг варьирования

x_i

по каждому факторуx_i(i=1...n). Реализует-

ся пробный эксперимент ПФЭ 2ⁿ(ДФЭ 2^n-p). В центре точки Х₀оцени- ваются коэффициенты регрессии b₁, b₂... b_nи определяется направле- ние рабочего шага (рис. 3.9.).

Рис. 3.9. Иллюстрация метода градиента

Задается параметр рабочего шага с учетом физических и техно- логических ограничений. Совершается один шаг – движение в вы- бранном направлении. На этом данный цикл поиска завершается.

Точка X₁является начальной для следующего этапа движения и цикл повторяется. При поисковом движении длина рабочего шага по- степенно уменьшается до тех пор, когда оценки b₁, b₂... b_nстановятся статически незначимыми. Достигнутая точка принимается за экстре- мум с точностью до длины последнего рабочего шага.

Метод имеет большую скорость движения и точность определе- ния в этой области по сравнению с методом Гаусса-Зайделя, но обла- дает меньшей помехозащищенностью.

Метод крутого восхождения (Бокса-Уилсона)

Разработан в 1951 году. Объединяет элементы методов градиен- та и Гаусса-Зайделя (рис. 3.10).

ПФЭ (ДФЭ) играет роль пробных опытов, по результатам кото- рых рассчитывают компоненты градиентов. Как и в методе градиента рабочее шаговое движение в области оптимума происходит по направлению градиента. Как в методе Гаусса-Зайделя при одном цик- ле рабочего шагового движения достигается лишь местный экстре- мум.

1. Выбирают начальную точку X₀(наилучшую изизвестных).

2. Задается шагварьирования

x_i

(i=1...n) по каждому фактору.

В точке с центром Х₀проводят ПФЭ (ДФЭ) для определения вектора градиента. Результаты ПФЭ (ДФЭ) подвергают статистической обра- ботке: проверке воспроизводимости эксперимента; расчету и оценке значимости коэффициентов регрессии; проверке адекватности ре- грессионной модели и функции отклика.

3. Рассчитываютпроизведение

b_ix_i

и фактор, для которого

это произведение максимально принимают за базовый

max

(b_ix_i)b_

x_.

4. Для базового фактора выбирают шаг крутоговосхождения

^кв

b_

x_

( 01),

где -

Рис. 3.10. Иллюстрация метода Бокса – Уилсона

5. Определяют шаги крутого восхождения по остальнымфакто-

рам

где -

^{f кв}

^кв

(fi),

6. Совершается рабочее движение. Очевидно, что f-ая h-ойточ-

ки будет

^xf,h

x_f0

h_fкв

x_f0

h_bf

x_f,

где - «+» - поиск максимума, «–» - поиск минимума.

7. В каждой рабочей точке могут быть проведены опыты для повышения точности измеренного значения отклика. В связи с при- ближением к области оптимума, где кривизнаповерхности увеличи-

вается, шаги варьирования

x_i

(i=1...n) для каждого последующего

шага выбирают такими же или уменьшают.

8. Поиск прекращают, когда оценкиb_i(i=1...n) коэффициентов регрессии получаютстатистическинезначимыми.

Достоинства метода: более экономичен; прост в реализации; от- носительно высокая помехоустойчивость.

Этот метод применяют наиболее часто при решении задач экс- периментальной оптимизации.