4. Поисковые методы экспериментальнойоптимизации

Как правило, конечной целью экспериментального исследова- ния является достижение и поддержание экстремальных показателей процесса (max или min). Задача оптимизации заключается в определе- нии таких значений управляемых факторов, при которых его отклик достигает экстремального значения.

Графическая интерпретация задачи оптимизации объекта y(x₁, x₂) при двух факторах x₁, x₂показана на рис. 3.7 a, б. Здесь точка А соответствует максимуму функции отклика y_sпри оптимальных значениях факторов x_1sи x_2s. Замкнутые линии на рис. 3.7 б характе- ризуют линии постоянного уровня и описываются уравнением y=f(x₁,x₂)=B=const.

Поисковые методы оптимизации относятся к категории итера- ционных процедур. Процесс исследования разбивается на шаги, на каждом шаге реализуют ряд опытов и определяют, каким образом нужно изменить факторы, чтобы получить улучшение результата. Информация, получаемая на каждом очередном шаге, используется для выбора последующего шага. В поисковых методах эксперимен- тально определяют точку оптимума с точностью до величины приня- того рабочего шага по каждому фактору.

Стратегия поискового методапредусматривает:

1. определение направления движения из некоторой точки. Направление должно обеспечивать значение функции отклика к наиболее оптимальному, чем в исходнойточке;

2. многократное повторение указанного этапа и определение оптимальной точки с точностью до величины принятого рабочегоша-га движения.

а

б Рис. 3.7. Оптимизация отклика y (x1,x2) : а – поверхность отклика,

б – линии равного отклика (уровня)

y = f(x₁,x₂) = B = const при количестве факторов n = 2 Допущения поисковых методов:

1. объект исследованиястатический;

2. поверхность отклика непрерывная, дифференцируемая во всех точках,одноэкстремальная;

3. вметодахоптимизации,использующихматематическиемо-

дели, выполняются все допущения регрессионного анализа;

4. объект исследования стационарный (без наличия временного дрейфа);

5. отсутствуют ограничения на возможные значения факторов или их комбинаций.

Метод Гаусса-Зайделя

1. Факторами варьируют поочередно, а остальные фиксируют на определенномуровне;

2. Каждый фактор меняют до достижения частного экстремума на поверхностиотклика;

3. По окончании варьирования n-го фактора возвращаются к ва- рьированию 1-гофактора;

4. Достижение точки, движение с которой в любом направлении будет неудачным, служит критерием для прекращенияпоиска;

5. Достигнутая точка принимается в качестве оценки точки экс- тремума с точностью до величины принятого шага варьирования по каждомуфактору.

Выбирают точкуМ₀, соответствующую наилучшей из известных рабочих режимов объекта или центру исследуемой области (рис. 3.8). Выбирают шаг по каждому опыту. Поверхность отклика в плоскостиX₁0X₂изображается линиями равного уровня (выхода).

1. 1

   этап. Факторы кроме первого фиксируют на уровняхx₂=x_2,0;x₃=x_3,0...x_n=x_n,0.

Факторx₁варьируется на пробный шаг

для определения направления движения.

x^/

в обе стороны отМ₀

Направление

M_0M0^.СледующеедвижениеизМ₀срабочим

шагом

x₁

(x_1x₁^,M_0M1M₁M₂

M_2M3

x₁) . До достиже-

ния частного экстремума в точкеМ₃по первому фактору.

2. этап. ТочкаМ₃принимается за новую начальную точку с ко- ординатамиx₁=x_1,3;x₂=x_2,0.Всефакторывформеx₂фиксируютнапо-

стоянных уровнях. Пробный шаг

x^/

M₃

M₃^

M₃

M₃^.Движениев

2

направлении

M₃M₃^срабочимшагом

x₂

(x₂

M₃M₄

x₂^)до

достижения частного экстремума по второму фактору. Эту точкуМ₄

принимают начальной для 3-го этапа и т.д.

Рис. 3.8. Иллюстрация метода Гаусса-Зайделя

На n-ом этапе (при числе факторов n) варьируется факторx_nпри фиксированном уровне остальных факторов.

Выполняют пробное, а затем рабочее движение до достижения частного экстремума по n-ому фактору.

Если абсолютный экстремум не достигнут, проводят новый цикл опытов ит.д.

Достоинства метода:наглядность и простота, высокая помехо-

защищенность.

Недостатки метода:значительное увеличение количества опытов с увеличением управляемых факторов; не всегда удается за- фиксировать на длительное время все управляемые факторы кроме одного, что вызывает дополнительные погрешности нахождения частных экстремумов; если поверхность отклика имеет сложную фор- му, метод может дать ложный ответ в расположении абсолютного экстремума.