Свойства плана пфэ 2n

План ПФЭ 2ⁿотносится к наиболее эффективным планам при построении линейных моделей. Эффективность обусловлена свой- ствами, вытекающими из правил построения матрицы.

N

Первое свойство – симметричность относительно центра экспе- римента следует из правила: алгебраическая сумма элементов векто- ра-столбца каждого фактора равна нулю

^xij^0,

j1

где i = 1, 2, ..., n – номер фактора, N – количествоопытов.

Второе свойство – условие нормировки следует из правила: сумма квадратов элементов каждого столбца равна количеству опытов

_x N_.

N

2

ij

j1

N

Третье свойство –ортогональностьматрицы планирования следует из правила: сумма почленных произведений любых двух век- тор-столбцов матрицы равна нулю

^xij^xuj0,

j1

где^i

^j,а также

i,u0,1,...n_.

Четвертое свойство –ротатабельностьследует из правила: точки в матрице планирования подбираются таким образом, что точ- ность предсказаний значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направ- ления.

Таким образом, точки ПФЭ 2ⁿрасположены симметрично отно- сительно начала координат, план ПФЭ 2ⁿпри равночисленных наблю- дениях откликов является ортогональным, A-, D-, E-, G- оптимальным и ротатабельным. Совокупность такого множества показателей эф- фективности (критериев оптимальности) определяет широкое приме- нение плана ПФЭ 2ⁿпри планировании активного эксперимента.

Расчет коэффициентов регрессии

После реализации плана эксперимента полученные эксперимен- тальные данные используют для расчета коэффициентов регрессии.

Свободный член уравнения регрессии^b₀

определяют как сред-

N

нее арифметическое всех значений параметра оптимизации в матрице

^yu

^b₀^1 , (3.9)

N

где^y_u

• значение параметра оптимизации (функции отклика) вu-м

опыте.

Коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие линей-

ные эффекты

^b_i, рассчитывают по формуле

^xiu^yu

N

_x

_bi1

2

iu

(3.10)

1

или

^xiu^yu

_bi_1 _,

N

где

^xiu

• кодированное значение фактора^x_i

в u-м опыте.

Коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие эффек-

ты двойного взаимодействия факторов

^b_ij, определяют по формуле

^xiu^xju^yu

N

_x

_bij1

2

iu

(3.11)

1

или

^xiu^xju^yu

^bij^{1 .}

N

Пример 3.Для плана 2²коэффициенты регрессии, в соответ- ствии с вышеприведенными формулами, будут иметь вид :

b₀

y₁y₂y₃y₄

₄ ,

b₁

y₁y₂y₃y₄

₄ ,

b₂

y₁y₂y₃y₄

₄ ,

^b12

_y₁y₂y₃y_4.

4

Полное количество всех возможных коэффициентов регрессии,

включая

^b₀, линейные коэффициенты^b_i

и коэффициенты взаимо-

действий всехпорядков торногоэксперимента.

^b_ij, равно количеству опытов полного фак-