Полный факторный эксперимент (пфэ) типа2n
Полный факторный эксперимент(ПФЭ)– эксперимент, спек- тром плана которого являются все возможные неповторяющиеся со- четания уровней числаnнезависимых управляемых факторов.
Если количество уровней каждого фактораS= 2, а число неза- висимых факторовn, то такой план называется ПФЭ типа 2n. Напри- мер, при одинаковом количестве уровней число точек спектра плана ПФЭ 24, в соответствии с формулой (3.4) составитN= 16 точек.
Реализация полных факторных экспериментов типа 2n позволя- ет получить линейные модели, описываемые полиномом первой сте- пени (3.7).
Условия эксперимента записывают в виде таблицы, которую называют матрицей планирования эксперимента. В табл. 3.2 показана матрица планирования полного факторного эксперимента типа 22.
Матрица плана ПФЭ типа 22
Таблица 3.2
Номер опыта |
Уровни факторов |
Значения отклика, у |
|
х1 |
х2 |
||
1 |
+1 |
+1 |
у1 |
2 |
-1 |
+1 |
у2 |
3 |
+1 |
-1 |
у3 |
4 |
-1 |
-1 |
у4 |
Для упрощения заполнения матрицы планирования, значения уровней факторов обозначают соответствующими знаками цифрой 1. С учетом взаимодействия двух факторов х1и х2табл. 3.2 примет вид (табл. 3.3)
Матрица плана ПФЭ типа 22
Таблица 3.3
Номер опыта |
Уровни факторов |
Результат взаи- модействия факторов х1х2 |
Значения отклика, у |
|
х1 |
х2 |
|||
1 |
+ |
+ |
+ |
у1 |
2 |
- |
+ |
- |
у2 |
3 |
+ |
- |
- |
у3 |
4 |
- |
- |
+ |
у4 |
Каждый столбец матрицы планирования называют вектор- столбцом, а каждую строку – вектор-строкой. Например, табл. 3.2 со- держит два вектора-столбца независимых переменных х1и х2и один вектор-столбец параметра оптимизации у.
Точки спектра плана ПФЭ 2nгеометрически представляют со- бой вN-мерном нормированном фактором пространстве:
приn = 2– координаты вершин квадрата с центром в начале ко- ординат (рис. 3.5);
приn = 3– координаты вершин куба с центром в начале коор- динат (рис. 3.6);
при n > 3 координаты вершин гиперкуба (N-мерный аналог ку- ба) с центром в начале координат.
Центрами этих фигур является основной уровень, а каждая сто- рона равна двум интервалам +1 и – 1 (рис. 3.5 и рис. 3.6).
Рис. 3.5. Геометрическое отображение плана ПФЭ 22в факторном пространстве
Номера вершин квадрата и куба соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Площадь, ограниченная этими фигурами,
называется областью эксперимента. По аналогичному принципу рас- полагаются экспериментальные точки при количестве факторов n > 3.
Рис. 3.6. Геометрическое отображение плана ПФЭ 23в факторном пространстве
Известны три способа построения матриц плана ПФЭ 2n, осно- ванные на переходе от матриц меньшей к матрицам большей размер- ности.
Первый способ.При добавлении нового фактора каждая комби- нация уровней предыдущего (исходного) фактора записывается два- жды, в сочетании с верхним и нижним уровнями нового фактора (табл. 3.4).
Во втором способеприменяют правило перемножения столбцов матрицы. При построчном перемножении уровней исходной матрицы получают дополнительный столбец произведения х1х2, затем повто- ряют исходный план, а у столбца произведений знаки меняют на об- ратные. Способ применим для построения матриц любой размерно- сти, однако он сложнее, чем первый.
Таблица 3.4 Способ построения матрицы спектра плана ПФЭ 2n
-
Номер опыта g
План ПФЭ 2n
Факторы
x1
x2
x3
x4
1
2
3
4
ПФЭ 22
+1
-1
+1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
6
7
8
ПФЭ 23
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
9
10
11
12
13
14
15
16
ПФЭ 24
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
Третий способоснован на чередовании знаков. В первом столб- це знаки меняют поочередно, во втором столбце они чередуются через два раза, в третьем – через четыре, в четвертом – через восемь и т.д. по степенямдвойки.