2. Группа критерия оптимальностипланов

1. G – оптимальный планминимизирует максимальновозмож-

ную дисперсию предсказания в области экспериментирования.

2. Q-оптимальный планминимизирует среднюю дисперсию предсказания в областиэкспериментирования.

3. Критерий оптимальности– минимум дисперсии предсказа- ния в точкеэкстремума.

4. Ротатабельный планобеспечивает одинаковую дисперсию предсказания для точек факторного пространства, равноудаленных от центра плана в любомнаправлении.

5. Униформный план– это ротатабельный план, в котором в не- которых областях вокруг центра плана дисперсия предсказания посто- янна.

Из множества непрерывных планов D-оптимальный план, ми- нимизируя обобщенную дисперсию оценок коэффициентов регрессии, одновременно является оптимальным в точности предсказания значе- ния отклика, поэтому его считают одним из наиболее предпочтитель- ных.

3. Группа критерия оптимальностипланов

1. Критерий оптимальности– насыщенность плана. План называется насыщенным, если число точек его спектра равно числу оцениваемых коэффициентов регрессионноймодели.

2. Композиционность плана. План называется композиционным, если он состоит из отдельных частей (композиций), последовательное добавление которых к главной из них позволяет получить самостоя- тельные планы для решения задач регрессии по возрастающей слож- ности. Требование композиционности необходимо, когда исследова- тель не знает заранее какой окажется адекватная регрессионная мо- дель: полиномом первого, второго или более высокихпорядков.

3. Критерий оптимальности– возможность разбиения плана на ортогональные блоки. План называется ортогональным, если его мат- рицу базисных функций можно разбить на ортогональныеблоки

(подматрицы). Разбиение производят, когда эксперимент настолько продолжителен, что систематически могут меняться некоторые фак- торы (изменение сырья, влажности воздуха и т.д.).

4. Критерий оптимальности– простота вычислений и нагляд- ность геометрической интерпретации оценок коэффициентов регрес- сии.

5. Критерий оптимальности– возможность преобразования не- зависимых факторов и перехода к другой системе базисных функций для оценивания новой регрессионной модели адекватной функции от- клика без производства дополнительных наблюденийоткликов.

6. Критерий оптимальности– нечувствительность результатов обработки к грубым ошибкам наблюденияотклика.

7. Критерий оптимальности– нечувствительность к ошибкам установки уровней управляемыхфакторов.

3. Планирование активного эксперимента по планам первого порядка

Планами первого порядка называются такие, которые позволяют провести активный эксперимент для оценки коэффициентов полино- минальной регрессионной модели при членах, содержащих только первые степени факторов.

Выбор модели

Под моделью понимают функцию отклика. Наглядное представ- ление о функции отклика дает ее геометрический аналог – поверх- ность отклика. В случае, когда количество факторов больше двух, геометрическая наглядность теряется, т.к. поверхность отклика пере- ходит в абстрактное многомерное пространство.

Пространство, в котором строится поверхность отклика, назы- вают факторным пространством. Оно задается координатнымиосями,

по которым откладывают значения факторов и параметра оптимиза- ции (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Факторное пространство при двух факторах

Для двух факторов можно не рассматривать поверхность откли- ка в трехмерном пространстве, а ограничиться двумерным сечением поверхности отклика. Для этого проводят сечения поверхности откли- ка плоскостями, параллельными плоскости х₁0х₂(рис. 3.4) и получен- ные в сечениях линии проецируют на эту плоскость. Каждая линия в двумерном сечении соответствует определенному постоянному зна- чению функции отклика. Такие линии называют линиями равного от- клика.

Требования к модели: адекватность и относительная простота. Адекватность – способность предсказывать направление и зна-

чения дальнейших опытов с определенной точностью. То есть, рас- считанное по модели значение отклика не будет отличаться от факти- ческого больше, чем на некоторую заранее заданную величину.

На первоначальном этапе исследования, когда экспериментатор не знает заранее, какую часть поверхности отклика он исследует,

n

можно ограничиться линейной по факторам регрессионной моделью

^yb0^bi^xi^{. (3.5)}

1

Этой моделью можно ограничиться, если область эксперимен- тирования очень мала.

Рис. 3.4. Двумерное сечение поверхности отклика

В противном случае или если накоплен достаточный объем ин- формации используют неполные квадратичные по факторам регресси- онные модели вида

yb_0b_ixi

1

• ^bij^xi^xj

1

. (3.6)

При планировании активного эксперимента для получения ре- грессионных моделей используют алгебраические полиномы. Как правило, используют следующие полиномы.

Полином первой степени

yb_0b_ixi

1

• _^b_ij^x_i^x_j, (3.7)

1

где у – функция отклика (параметр оптимизации);

x_i,x_j

• факторы;

^b₀– свободный член уравнения регрессии;^b_i

• коэффициентыурав-

нения регрессии, характеризующие линейные эффекты;

^bij

• коэффи-

циенты уравнения регрессии, характеризующие эффекты двойного взаимодействия факторов.

Полиномы первой степени имеют минимальное количество ко- эффициентов и позволяют предсказывать оптимальное направление улучшения параметра оптимизации. Однако в области близкой к оп- тимуму эффективность полиномов первой степени снижается. Поэто- му в ходе планирования активного эксперимента на первом этапе ис- следований используют полиномы первой степени, и затем, когда они станут неэффективными, переходят к полиному более высокой степе- ни.

Полином второй степени

yb

• _bx

• _bxx

_b

^x2, (3.8)

n

n

0 ii

1

iji j

1

iii

n

1

где

^bii

• коэффициентыуравнениярегрессии,характеризующиене-

линейные эффекты.