2. Понятие плана эксперимента и его критериев оптимальности

Планирование эксперимента –процедура выбора числа и усло- вий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения по- ставленной задачи с требуемой точностью.

Планирование эксперимента предусматривает:

• стремление к минимизации общего количестваопытов;

• одновременное варьирование всеми переменными, определяющими исследуемый объект, по специальным правилам –алгоритмам;

• использование математического аппарата, формализующего многие действияэкспериментатора;

• выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные ре- шения после каждой серииэкспериментов.

Планом экспериментаназывается совокупность точекx₁, x₂. ...x_Nв области экспериментирования с соответствующим числомm₁, m₂

... m_Nпараллельных наблюдений.

Множество точекx₁, x₂. ... x_Nназывают спектром плана экспери- мента.

Планированием экспериментаназывают построение оптималь- ного плана эксперимента при решении задачи минимизации показате- лей точности регрессионного анализа или максимализации какого- нибудь показателя эффективности плана. Показатели точности или эффективности при этом называются критериями оптимальности пла- на эксперимента.

Основной целью проведения активного эксперимента являетсяполучение уравнения регрессии, адекватно описывающей зависимость функции откликаyот независимых существенных факторов х_n.

Задача регрессиизаключается в определении неизвестных ко-

эффициентов уравнения регрессии периментальных данных.

b_0,

^b_i,

^bij^,

^bii

на основании экс-

^b₀– свободный коэффициент (член) уравнения регрессии;

^b_i– коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие ли-

нейные эффекты;

^bij

– коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие

эффекты двойного взаимодействия факторов;

^bii

• коэффициенты уравнения регрессии, характеризующиене-

линейные эффекты.

Метод решения задачи регрессии называется регрессионным анализом.

Регрессионный анализ, как и всякий статистический метод при-

меним при определенных допущениях:

1. ошибки в разных опытах некоррелированны;

2. в каждом опыте математическое ожидание случайной вели- чины ошибки равно0;

3. в каждом опыте ошибка имеет нормальное распределение (ЗНР), т.е. значения отклика являются независимыми, нормально рас- пределенными случайными величинами с дисперсией одинаковой во всехопытах.Такуюдисперсиюназываютдисперсиейвоспроизводи-

мости эксперимента

S².

E Критерии оптимальности плана эксперимента

Все критерии и принципы планирования делят на 3 группы [10]:

1. критерий оптимальности планов (КОП), связанный с точно- стью оценки коэффициентоврегрессии;

2. КОП, связанный с точностью оценки регрессионноймодели;

3. КОП, связанный со стратегией планирования эксперимента и с вычислительным алгоритмом обработки результатовнаблюдений.

1. Группа критерия оптимальностипланов

D-оптимальныйплан минимизирует из множества планов обобщенную дисперсию наилучших линейных оценок коэффициентов регрессии;

А-оптимальный план минимизирует среднюю дисперсию наилучших линейныхоценок;

Е-оптимальныйплан минимизирует максимальную дисперсию наилучших линейных оценок коэффициентов регрессии.

Ортогональный планпозволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициентов регрессии.

Если ортогональный план А-оптимален, то он одновременно D - и Е – оптимален.