Выдвижение гипотез

Рабочая гипотеза– логически обоснованные предположения дляобъяснениякакого-либопроцесса,которыепослепроверкимогут

быть истинными или ложными. Наиболее эффективными рабочими гипотезами являются те, которые основаны не только на строгих ло- гических предположениях (они трудно поддаются математическому описанию), но и на основании теоретических предпосылок. Такие ги- потезы позволяют заранее прогнозировать существенные стороны функционирования объекта и проводить исследования более целена- правленно и эффективно.

Уточнение условий функционирования объекта

Рабочие гипотезы могут выдвигаться и приуточнении условийфункционирования объекта. На этом этапе формируется информация о работе объекта, окончательно оценивается реальность решения по- ставленных задач и конкретизируется постановка задачисследований.

Выбор откликов

Отклик– наблюдаемая случайная переменная, по предположе- нию, зависящая от факторов. Выбор откликов (параметров оптимиза- ции или критериев оптимизации) является одним из главных этапов предпланирования эксперимента.

Требования, предъявляемые к отклику [10]:

Первое требование: отклик должен бытьколичественным,зада- ваться числом. Множество значений, которые может принимать от- клик, называют областью его определения. Области определения мо- гут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограни- ченными.

Если отклик не может оцениваться количественно, пользуются ранжированием. При этом отклику присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т. д. Ранго- вый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В простейшем случае область содержит два значения (да, нет; хорошо, плохо). Это может соответствовать, например, годной продукции и браку.

Второе требование –однозначность в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно значение отклика, при этом обратное неверно: одному и тому же зна- чению параметра могут соответствовать разные наборы значений фак- торов.

Третье требование к отклику –возможность действительно эффективной оценки функционирования объекта. Оценка эффектив- ности функционирования объекта как системы может осуществляться как для всей системы, так и ряда подсистем, составляющих данную систему. Однако необходимо учитывать возможность того, что опти- мальность каждой из подсистем по своему параметру оптимизации не исключает возможности брака. Это означает, что попытка добиться оптимума с учетом некоторого локального или промежуточного па- раметра оптимизации может оказаться неэффективной.

Четвертое требованиек параметру оптимизации – требованиеуниверсальностиилиполноты.Под универсальностью отклика пони- мают его способность всесторонне охарактеризовать объект исследо- ваний. Например, технологические параметры не в полной мере уни- версальны (они не учитывают экономику). Универсальностью обла- дают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые стро- ятся как функции от нескольких частных параметров.

Пятое требование:желательно, чтобы отклик имелфизическийсмысл, был простым и легко рассчитываемым.

Требование физического смысла связано с последующей интер- претацией результатов эксперимента. Не представляет труда объяс- нить, что значит минимум энергопотребления, максимальная произ- водительность, максимум содержания ценного компонента. Такие па- раметры оптимизации имеют ясный физический смысл, но для них может не выполняться, например, требование статистической эффек- тивности. В этом случае откликпреобразуют. Преобразование,

например, типа

^arcsin делает отклик статистическиэффективным

(например, дисперсии становятся однородными), однако при этом возникает вопрос: что же значит достигнуть экстремума этой величи- ны?

Вторая часть требования также существенна. Для процессов разделения термодинамические параметры оптимизации более уни- версальны. Однако на практике ими пользуются мало: их расчет до- вольно трудоемок.

В научных исследованиях, привыборе откликов, задачи реша- ются чаще всего с несколькими откликами, поэтому необходимо ми- нимизировать количество откликов (в лучшем случае до одного).

На практике чаще всего приходится учитывать несколько вы- ходных параметров. Например, при производстве резиновых и пласт- массовых изделий приходится учитывать физико-механические, тех- нологические, экономические, художественно-эстетические и другие параметры. Регрессионные модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций не- возможно.

Как правило, оптимизируют одну функцию отклика, наиболее важную с точки зрения исследования, при ограничениях, налагаемых другими функциями. При этом следует исследовать возможность уменьшения количества выходных параметров. Для этого используют корреляционный анализ, в ходе которого между всевозможными па- рами параметров определяют коэффициент парной корреляции, кото- рый является в математической статистике характеристикой связи между двумя случайными величинами. Если обозначить один пара- метр через у₁, а другой – через у₂, и число опытов, в которых они бу- дут измеряться, - через N так, что u = 1, 2,..., N, где u – текущий номер опыта, то коэффициент парной корреляции r вычисляется по формуле

^N _ _

_(y_1uy₁)(y_2uy₂)

y y

,

_{r }u1

1 2

где

_ _

^y₁и^y₂

– средние арифметические соответственно для у₁и у₂.

y₁_

u1

^y1u

_N и

y₂_

u1

^y2u

_N .

Значения коэффициента парной корреляции могут лежать в пре- делах от -1 до +1. Если при увеличении одного параметра возрастает значение другого, у коэффициента будет знак плюс, а если уменьша-

y y

1 2

ется, то минус. Чем ближе найденное значение^r

к единице, тем

сильнее значение одного параметра зависит от того, какое значение принимает другой, т. е. между такими параметрами существуетлиней-ная связь, и при изучении процесса можно рассматриватьтолько одиниз них. Следует отметить, что коэффициент парной корреляции как мера тесноты связи имеет четкий математический смысл только прилинейной зависимостимежду параметрами и в случае ихнормальногораспределения.

Значимость коэффициента парной корреляции определяют сравнением его расчетного значения с табличным значением r (при- ложение В табл. В.1). Табличное значение коэффициента парной кор-

реляции r определяют по числу степеней свободы

fN2

ивы-

бранному уровню значимости, например, равному 0,05. Если расчет- ное значение r не меньше табличного, то гипотеза о корреляционной линейной связи подтверждается.

При высокой корреляции любой из двух анализируемых пара- метров (откликов) можно исключить из рассмотрения как не содер- жащий дополнительной информации об объекте исследования. Ис- ключить следует тот параметр, который труднее измерить, или тот, физический смысл которого менее ясен.

Обобщенный параметр (отклик) оптимизации

Из многих откликов, определяющих объект, не всегда возможно выбрать один, наиболее важный. В этом случае множество откликов обобщают в единый количественный признак, что представляет опре- деленные трудности.

Каждый отклик имеет свой физический смысл и размерность. Для объединения различных откликов, необходимо ввести для каждо- го отклика некоторую безразмерную шкалу. Шкала должна быть од- нотипной для всех объединяемых откликов – это делает их сравни- мыми. Выбор шкалы – не простая задача, которая зависит от качества априорной информации об откликах, а также от той точности, с кото- рой определяют обобщенный признак.

После построения для каждого отклика безразмерной шкалы, необходимо выбрать правила комбинирования исходных откликов в обобщенный показатель. Единого правила не существует. Ниже при- ведены несколько способов построения обобщенного показателя.

Простейшие способы построения обобщенного отклика

Допустим исследуемый объект характеризуют n откликов, каж-

дый из которых измеряется в N опытах. При этом

^Yui

–значение u-го

отклика в i-ом опыте

^{(i1, 2,...N). Каждый из откликовY}_u

имеет

свой физический смысл и, как правило, разную размерность. Выпол-

няют простейшее преобразование: набор данных для каждого

^Y_uпри-

водят в соответствие с самым простым стандартным аналогом – шка- лой, имеющей только два значения: 0 – брак, неудовлетворительное

качество, 1 – годный продукт, удовлетворительное качество. Затем приступают ко второму этапу – обобщению откликов.

Так как каждый преобразованный частный отклик принимает только два значения 0 и 1, необходимо чтобы и обобщенный отклик принимал одно из этих двух возможных значений: значение 1, когда все частные отклики в этом опыте приняли значение 1 и значение 0, если хотя бы один из откликов обратился в 0.

n

В этом случае обобщенный отклик определяют по формуле

Y_iⁿ_yui,

u1

где^Y_i

• обобщенныйоткликв^i-омопыте;n–количествочастных

откликов;_

u1

– произведение частных откликов

y_1i,y_2i,...y_ni.

К недостаткам вышеописанного способа построения обобщен- ного отклика следует отнести невысокую точность.

Второй способ получения обобщенного отклика применяют в случае, когда для каждого из частных откликов известен «идеал», к которому нужно стремиться. Известно много способов введения мет- рики, задающей «близость к идеалу». Понятие «ввести метрику» означает указать правило определения расстояния между любыми па- рами объектов из интересующего нас множества.

Введем еще одно обозначение

^yuo

– наилучшее («идеальное»)

значение u-го отклика. Тогда разность

^yui^yuo

можно рассматривать

как некоторую меру близости к идеалу. Однако использовать эту раз- ность при построении обобщенного отклика невозможно, так как она имеет размерность соответствующего отклика, что препятствует их

объединению. Для перехода к безразмерным значениям, вышеуказан- ную разность делят на желаемое значение

^yui^yuo_.

^yuo

Если в некотором опыте все частные отклики совпадут с идеа- лом, то Y примет значение 0. Это и есть то значение, к которому нуж-

но стремиться. Чем ближе^Y_i

к нулю, тем лучше. В данном способе

необходимо определить, что считать нижней границей, если верхняя равна нулю.

К недостаткам способа следует отнести нивелирование частных откликов. Все они входят в обобщенный отклик на равных правах. На практике же различные показатели как правило неравноправны.

Устранить этот недостаток можно введением некоторого весаа_и

^{n y} y ^2

_{Yiau}ui uo_,

u1 _

^yuo 

причем

_a_u1_иau

u1

0_.

Для того, чтобы проранжировать отклики по степени значимо- сти и найти соответствующие веса, можно использовать методы экс- пертных оценок.

Шкала желательности

Выше были рассмотрены простейшие способы построения обобщенного показателя. Пользуясь системой предпочтений, можно получить более содержательную шкалу вместо шкалы классификации с двумя классами.

К наиболее распространенным способам следует отнести способ построения обобщенного отклика по обобщенной функции желатель- ности Харрингтона. Натуральные значения частных откликов преоб- разуют в безразмерную шкалу желательности или предпочтительно- сти. Шкала желательности относится к психофизическим шкалам. Ее назначение – установление соответствия между физическими и пси- хологическими параметрами.Подфизическими параметрами пони- мают отклики, характеризующие функционирование исследуемого объекта в т.ч. и эстетические, а под психологическими параметрами – чисто субъективные оценки экспериментатора желательности того или иного значенияотклика.

Для получения шкалы желательности, используют таблицу со- ответствия между отношениями предпочтения в эмпирической и чис- ловой системах (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Стандартные отметки на шкале желательности

Желательность	Отметки на шкале желательности
Очень хорошо	1,00 – 0,80
Хорошо	0,80 – 0,63
Удовлетворительно	0,63 – 0,37
Плохо	0,37 – 0,20
Очень плохо	0,20 – 0

В табл. 3.1. представлены числа, соответствующие некоторым

точкам кривой (рис. 3.2), которая описывается уравнением

_deey

или

^{dexpexp(y)}, где ехр – принятое обозначение экспоненты. По оси ординат обозначены значения желательности, изменяю-

щиеся от 0 до 1. По оси абсцисс указаны значения отклика, записан- ные в условном масштабе.

Рис. 3.2. Функция желательности

Началом отсчета 0 по этой оси является значение, соответству- ющее желательности 0,37 (минимальное значение, соответствующее желательности «удовлетворительно»). Кривую желательности исполь- зуют как номограмму.

Пример 1.Исследуется процесс и среди откликов частным от-

кликом является выход реакции

^y₁, естественные границы которого

заключены между 0% и 100%. Допустим, что 100% соответствует на шкале желательности единице, а 0% – нулю, тогда на оси абсцисс по- лучим две точки: 0 и 100 (рис. 3.2). Выбор других точек зависит от ря- да причин: сложившейся в начальный момент ситуации, требований к результату, возможностей экспериментатора и др.

В этом случае область хороших результатов (0,80 – 0,63 по шкале желательности) имеет границы 57 – 70%.

Пример 2.Другая ситуация складывается при исследовании синтеза нового вещества, которого до сих пор не удавалось получать в количествах, достаточных для идентификации.

При выходе менее 2% нет способа идентифицировать продукт. Любой выход выше 10% – превосходен (рис.3.2.). Здесь выход про-

дукции обозначен через

^y₂.

В примерах рассмотрены одинаковые отклики – выхода реакции с границами измерения от 0% до 100%. Однако, это не всегда возмож- но. Стоит включить такие отклики, как качество материала, и границы становятся неопределенными. В этих случаях для частных откликов устанавливают границы допустимых значений. Ограничениямогут

быть односторонними в виде

^yu^ymin

и двусторонними в виде

^y_min^y_u^y_max. Следует учитывать, что

^ymin

соответствует отметке

на шкале желательности

^d0,37, а значение

^ymax

устанавливается на

основании опыта и ситуации исследователя.

Обобщенная функция желательности

После выбора шкалы желательности и преобразования частных откликов в частные функции желательности приступают к построе- нию обобщенной функции желательности, которая описывается фор- мулой

n

Dⁿ_dи,

u1

где D – обобщенная желательность;d_u–частныежелательности.

Способ задания обобщенной функции желательности таков, что если хотя бы одна желательностьd_u=0, то обобщенная функция бу- дет равна нулю и она будет равна единице (D = 1) в случае, когдаd_u

=1 . Обобщенная функция весьма чувствительна к малым значениям частных желательностей.

Пример:при определении пригодности материала, обладающего рядом свойств для использования его в заданных условиях материал

считается непригодным, если хотя бы один частный отклик не удо- влетворяет требованиям. Например, если при определенных темпера- турах материал становится хрупким и разрушается, то, как бы ни бы- ли хороши другие свойства, этот материал не может быть применим поназначению.

Способ задания базовых отметок шкалы желательности, пред- ставленный в табл. 3.1, один и тот же, как для частных, так и для обобщенных желательностей.

Несмотря на то, что обобщенная функция желательности явля- ется некоторым абстрактным построением, она обладает важными свойствами: адекватность, статистическая чувствительность, эффек- тивность. Обобщенная функция желательности является количествен- ным, однозначным, единым и универсальным показателем качества исследуемого объекта и поэтому может использоваться в качестве критерия оптимизации.