Суммарное давление жидкости на криволинейную поверхность

В случае криволинейной поверхности определение силы суммарного давления жидкости усложняется, так как силы давления, действующие в каждой точке нормально к поверхности, не параллельны, имеют разное направление. Поэтому при определения суммарного давления на криволинейную поверхность сначала находят отдельно величины и линии действия составляющих силы суммарного давления по координатным осям (горизонтальной и вертикальной составляющих), а затем, складывая векторы этих сил, определяют искомую силу и точку ее приложения к поверхности (центр давления).

Рассмотрим определение избыточного суммарного давления жидкости на цилиндрическую поверхность AB произвольной формы с горизонтальными образующими, ограниченную с боков вертикальными плоскостями (рис. 6 – 1). В этом случае горизонтальная составляющая силы суммарного давления, перпендикулярная к чертежу, будет равна нулю вследствие симметрии поверхности относительно вертикальной плоскости.

Выделим на рассматриваемой цилиндрической поверхности элементарную площадку dF, расположенную на глубине h от поверхности жидкости. Избыточное давление жидкости на эту площадку, которая в силу своей малости может считаться плоской, будет равно

(6 – 1)

Разложим элементарную силу dP, направленную нормально к площадке dF, на две составляющие – горизонтальную dP_г и вертикальную dP_в. Угол, образуемый силой dP с горизонтальной плоскостью, обозначим . Очевидно, что горизонтальная составляющая P_г силы суммарного давления жидкости на поверхность AB будет равна сумме элементарных сил dP_г, действующих на все элементарные площадки поверхности AB, а вертикальная составляющая P_в – суммой всех элементарных сил dP_в.

Найдем горизонтальную составляющую силы суммарного давления жидкости. Из прямоугольника элементарных сил (рис. 6 – 1) имеем

Величина dF.cos представляет собой площадь вертикальной проекции площадки dF

Подставив в (6 – 1), получим

(6 – 2)

Т.е. горизонтальная составляющая давления жидкости на элементарную площадку dF криволинейной поверхности равна давлению жидкости на вертикальную проекцию этой площадки. Следовательно, горизонтальная составляющая суммарного давления жидкости на всю криволинейную поверхность AB равна сумме элементарных давлений dP_г на соответствующие вертикальные проекции dF_в всех элементарных площадок, т.е. интегралу от dP_г по всей площади F_в вертикальной проекции криволинейной поверхности AB:

(6 – 3)

Интеграл в правой части (6 – 3) есть статический момент вертикальной проекции F_в данной криволинейной поверхности относительно горизонтальной оси, проходящей через точку C:

(6 – 4)

где: h_o – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции F_в под уровень свободной поверхности жидкости.

Подставляя (6 – 4) в (6 – 3), окончательно получим

(6 – 5)

Выражение (6 – 5) аналогично формуле определения избыточного суммарного давления на плоскую поверхность, которой в данном случае является вертикальная проекция F_в криволинейной поверхности. Т.о. можно сделать следующий вывод: горизонтальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную поверхность равна суммарному давлению жидкости на вертикальную проекцию этой поверхности.

Из (6 – 5) следует, что величина горизонтальной составляющей не зависит от формы и площади криволинейной поверхности. Для изображенных на рис. 6 – 2 криволинейных поверхностей, различных по форме и площади, горизонтальные составляющие будут одинаковы, так как одинаковы вертикальные проекции этих поверхностей.

Найдем вертикальную составляющую силы суммарного давления жидкости. Из прямоугольника элементарных сил (рис. 6 – 1) имеем:

Величина dF.sin представляет собой горизонтальную проекцию площади dF

Как видно из чертежа, величина dFг=dW представляет собой объем элементарной призмы, имеющей высоту h и площадь основания dF_г. Поэтому

(6 – 6)

Из (6 – 6) видно, что вертикальная составляющая давления жидкости dP_в на элементарную площадку dF равна весу жидкости в объеме элементарной призмы dW, построенной на этой площадке. Следовательно, вертикальная составляющая суммарного давления жидкости на всю криволинейную поверхность AB равна сумме весов всех элементарных призм, построенных на данной криволинейной поверхности, т.е. интегралу от dP_в по всему объему тела ABC:

(6 – 7)

откуда

(6 – 8)

Объем W, ограниченный (рис. 6 – 1) :

• данной криволинейной поверхностью;

• вертикальными плоскостями, проходящими через крайние образующие данной цилиндрической поверхности, а также двумя вертикальными плоскостями, проходящими через ее крайние направляющие;

• горизонтальной плоскостью, совпадающей со свободной поверхностью жидкости, называется телом давления. Т.о. из выражения (6 – 8) следует, что вертикальная составляющая суммарного давления жидкости цилиндрическую криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме тела давления. В зависимости от формы и ориентировки криволинейной поверхности может быть (рис. 6 –3)

• действительным, если оно примыкает к криволинейной поверхности со стороны, смоченной жидкостью;

• фиктивным, если оно примыкает к криволинейной поверхности со стороны, не смоченной жидкостью.

Если тело давления действительное, вертикальная составляющая направлена вниз, если фиктивное – вверх. Т.е. вертикальная составляющая всегда направлена от жидкости к поверхности (в соответствии с первым свойством гидростатического давления).

Суммарное давление жидкости на криволинейную поверхность равно геометрической сумме векторов ее составляющих. Его величина

(6 – 9)

Точка приложения силы суммарного давления (центр давления) расположена на пересечении линии действия силы с криволинейной поверхностью. Чтобы найти центр давления необходимо знать линии действия обеих составляющих суммарного давления, которые пройдут через центры тяжести эпюры горизонтальной составляющей и тела давления (рис. 6 – 4). Определение центра давления на плоскую поверхность рассмотрено выше. Чтобы найти линию действия вертикальной составляющей давления необходимо, в общем случае определить центр тяжести криволинейного треугольника, который находится на пересечении криволинейных медиан (рис. 6 – 4). Если построить прямоугольник сил в точке пересечения линий действия составляющих суммарного давления, найдем линию действия силы суммарного давления P. Точка ее пересечения с криволинейной поверхностью и есть центр давления (точка ЦД на рис. 6 – 4).

Угол наклона  силы P к горизонту можно определить из соотношения

(6 – 10)

В частном случае, когда цилиндрическая поверхность представляет собой часть прямого кругового цилиндра (рис. 6 – 5), сила суммарного давления жидкости P проходит через центр окружности являющейся направляющей цилиндрической поверхности, так как все элементарные силы dP проходят через ее центр.

Линию действия силы суммарного давления P можно найти, построив прямоугольник сил в центре окружности, или проведя через центр окружности прямую линию под углом  к горизонту.

Рассмотрим несколько примеров задач гидростатики.

Пример 1

Определить величину суммарного гидростатического давления и положение центра

давления для плоской крышки AB. Построить эпюру давления.

Исходные данные:

высота крышки	a = 1,2 м;
ширина крышки	b = 1,0м;
угол наклона крышки	 = 60;
высота	h1 = 0,6 м;
высота	h2 = 0,2 м.

Решение

1. Высота вертикальной проекции крышки

м;

2. Глубина погружения центра тяжести крышки

м;

3. Площадь крышки

м;

4. Величина суммарного гидростатического давления на крышку

м;

5. Глубина погружения центра давления

м.

Построение эпюры гидростатического давления на крышку и нахождение центра давления графическим способом показано на рисунке.

Пример 2

Сброс воды из водохранилища производится через туннель прямоугольного сечения размером bh. Вход в туннель закрывается сегментным затвором, имеющим водоудерживающую обшивку в виде криволинейной цилиндрической поверхности AB с горизонтальными образующими. Радиус цилиндрической поверхности R. Ширина затвора - b. Глубина воды в водохранилище – H.

Определить аналитически величину суммарного гидростатического давления воды на затвор и найти графически положение центра давления.

И сходные данные:

b = 6 м.

H = 8 м.

R = 3 м.

 = 50.

Решение

1. Высота туннеля

м.

2. Величина горизонтальной составляющей суммарного давления

Н.

3. Объем тела давления

м³.

4. Величина вертикальной составляющей суммарного давления

Н.

5. Величина суммарного гидростатического давления на затвор

Н.

6. Построение центра давления на затвор показано на рисунке.