Удельная энергия сечения

В живом сечении потока в открытом русле полная удельная энергия или гидродинамический напор относительно произвольной горизонтальной плоскости сравнения 0-0 (рис. 6.4) выражается трехчленом уравнения Бернулли:

(6.6)

При атмосферном давлении на свободной поверхности пьезометрическая высота равна глубине погружения точки А, т. е. h_A = p/(pg). Если обозначить расстояние от плоскос­ти сравнения 0-0 до плоскости 0_i -0_i, проведенной через низшую точку дна живого сечения, величиной а, то вы­ражение (6.6.) можно представить в виде

Сумма последних двух членов правой части

(6.7)

представляет полную удельную энергию потока в рассматриваемом сечении, отнесенную не к произвольной, а вполне определенной плоскости сравнения 0_i -0_i, проведенной через низшую точку живого сечения, и названную Б.А. Бахметевым удельной энергией сечения.

Рис. 6.4

В русле с прямым (i₀>0) или с обратным уклоном (i₀<O) плоскости 0_i-0_i,, проведенные через низшие точки раз­ных живых сечений, располагаются на разных отметках. Поэтому, например, при равномерном движении открытого потока, т. е. при h=const и v=const удельная энергия се­чения по длине потока сохраняется неизменной: Э=const в то же время гидродинамический напор всегда уменьшает­ся вниз по течению:

H₀₁ = H₀₂ + h_L.

При неравномерном плавноизменяющемся движении в от­крытом русле значение удельной энергии сечения по длине потока будет изменяться, причем оно может не только убы­вать (dЭ/dh<0), но и возрастать (dЭ/dh>0).

Рис. 6.5

В разных сечениях горизонтального (i₀=0) призмати­ческого русла плоскости 0_i-0_i, проведенные через низшие точки живых сечений, находятся на одной отметке, и по­этому изменение удельной энергии сечения при неравно­мерном плавноизменяющемся движении от одного сече­ния к другому характеризует потерю напора на участке меж­ду сечениями (рис. 6.5):

Э₁ – Э₂ = H₀₁ - H₀₂ = h_L.

Выражение (6.7) можно запи­сать в виде

(6-9)

где первый член справа пред­ставляет потенциальную часть удельной энергии сечения Э_П=Н, а второй - кинетичес­кую Э_к = αQ²/(2gω²).

Критическая глубина

При заданных форме поперечного се­чения русла и расходе удельная энергия сечения являет­ся функцией глубины потока Э=Э(h). Если h→0), то Э_П→0, а Э_к→∞ и удельная энергия сечения Э→∞. Если же h→∞, то Э_к→0, а Э_П→∞и Э→∞. Графически изменение потен­циальной части удельной энергии сечения от глубины по­тока представляется прямой (рис. 6.6), проходящей под углом 45° к оси абсцисс (сплошная линия), а изменение ки­нетической части удельной энергии сечения – гиперболой (штриховая линия). График зависимости Э=Э_П+Э_к=Э(h) имеет точку, в которой удельная энергия сечения до­стигает минимума Э=Э_тiп. Глубина, соответствующая минимальному значению удельной энергии сечения, назы­вается критической глубиной.

Рис. 6.6

Бурное и спокойное состояние потока

Критическая глубина является критерием, определяющим энер­гетическое состояние потоков в открытых руслах. Так, потоки находятся в бурном состоянии (являются бур­ными) при глубинах

h<h_K, (6.10)

что соответствует нижней ветви кривой Э=Э{h), в пределах которой удельная энергия сечения уменьшается с увели­чением глубины (рис. 6.6), т. е.

(6.10')

Потоки в спокойном состоянии (спокойные потоки) характеризуются глубинами

h>h_к, (6.11)

что соответствует верхней ветке кривой (рис. 6.6), т. в. увеличению удельной энергии сечения с ростом глубины и положитель­ному знаку производной

(6.11^’)

Потоки в критическом состоянии соответствуют глубине

h=h_K, (6.12)

при которой

(6.12')

Состояние потока устанавливается по отношению фак­тической глубины в русле h с критической h_K. В частном случае равномерного движения состояние потока опреде­ляется по отношению глубины равномерного потока и кри­тической.

Дифференцируя выражение (6.9) по h из условия (6.12') при глубине, равной критической, имеем

(6.13)

С учетом (6.3) получаем уравнение критического состояния потока:

которое может быть приведено к виду

(6.14)

где В_к и ω_к - соответственно ширина по верху и площадь живого сечения потока при критической глубине.

Величина αQ²B/(gω³) характеризует состояние потока и названа параметром кинетичности:

(6.15)

Последнее выражение можно преобразовать:

(6.16)

В условиях плоской задачи и для прямоугольных русл, когда ω/В=h, параметр кинетичности становится равным числу Фруда:

(6.17)

Согласно формулам (6.14), (6.15) и (6.17) при критическом состоянии потока, т. е. при h=h_K, получаем

П_к = Fr=l; (6.18)

при спокойном состоянии потока (h>h_к)

П_к = Fr<l; (6.19)

при бурном состоянии потока, когда {h<h_K),

П_к = Fr>l. (6.20)

Критическую глубину для русла любой формы попереч­ного сечения можно определить из уравнения (6.14) под­бором или графически. В последнем случае по нескольким произвольным глубинам строится график (рис. 6.7). За­тем, учитывая, что только при критической глубине выпол­няется соотношение (6.14), на оси ω³/B находят значение αQ²/g, которому соответствует искомая глубина h_K.

Для каналов прямоугольной формы поперечного сече­ния при ω_к=h_к, где b - ширина канала по дну, из уравнения (6.14) получим

(6.21)

Для каналов треугольной формы по тому же уравнению

(6.22)

Рис. 6.7

По уравнению (6.14) критическую глубину для трапеце­идальных каналов в явном виде получить нельзя. Она мо­жет быть найдена, как было ука­зано, методом подбора или графи­чески. А. Н. Рахмановым, И. И. Агроскиным, П. Г. Кисе­левым, Б. Т. Емцевым и другими с целью упрощения вычислений были предложены таблицы и гра­фики для определения критичес­кой глубины в трапецеидальных руслах. Наиболее просто критическая глубина оп­ределяется по графику Киселева (рис. 6.8).

Для значения Q/b^2,5 на оси абсцисс по кри­вой, соответствующей заданному заложению откоса m, на оси ординат находят величину β=h_к/b, по которой вы­числяют критическую глубину

h_к=βb.

В каналах различного назначения (мели­оративных, гидроэнергетических, систем водоснабжения), в дорожных кюветах и т. п. режим движения жидкости обычно является турбулентным. Ламинарный режим может быть при малых глубинах потока - на покрытиях улиц, дорог, аэродромов и в лотках поверхностного водоотвода.

Режим движения жидкости в лотке (канале) устанавли­вается по значению числа Рейнольдса, определяемого с использованием в качестве характерного размера гидравлического радиуса R, т. е. Re_R=υR/v.

Область ламинарного режима движения соответствует приблизительно числам Re<500, для турбулентного дви­жения характерно Re>2000. В переходной области (на рис. 6.9 эта область заштрихована) при 500≤Re≤2000 возможны как ламинарный, так и турбулентный режимы.

Рис. 6.8

Энергетическое состояние потока в открытом русле, как было показано, определяется соотношениями (6.18)-(6.20). Значение Fr=l, соответствующее критическому сос­тоянию потока, выделено на рис. 6.9 жирной линией.

Рис. 6.9

Та­ким образом, линия и заштрихованная полоса 500<Re<2000 делят график рис. 6.9 на четыре области. Область I соответствует спокойным ламинарным потокам; область II - бурным ламинарным потокам; область III соответствует бурным турбулентным потокам и область IV - спокойным турбулентным потокам.

Установление ре­жима движения в лотке или канале необходимо для того, чтобы при расчете канала правильно назначить закон гидравлических сопротивлений.

Установление энергетического состояния потока по соотношениям (6.18)-(6.20) или по графику (рис. 6.9) яв­ляются обязательным элементом решения задач неравномерного плавноизменяющегося движения в каналах.