2.2. Взаимно однозначное соответствие

Если f: A → B – однозначное соответствие и при этом отображении каждый элемент множества B соответствует одному и только одному элементу из A, то f называется взаимно однозначным соответствием (его называют также одно-однозначным). Схема - на рис. 2.1, в. Из предыдущих примеров п. 2.1 взаимно однозначные соответствия – 3 и 6.

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то они называются эквивалентными. Для конечных множеств это означает, что оба множества содержат одинаковое число элементов. Действительно, пусть А и В – конечные множества с одинаковым числом элементов. Занумеруем произвольным образом элементы обоих множеств. Поставим в соответствие друг другу элементы с одинаковыми номерами - это будет взаимно однозначным соответствием. Поскольку нумерации в множестве могут быть различными, соответствие устанавливается неоднозначно (о числе нумераций – в разделе «Элементы комбинаторики» Юниты 2).

Для бесконечного множества нельзя говорить о числе его элементов. Бесконечные множества сравниваются с некоторыми эталонными множествами: множества, эквивалентные множеству натуральных чисел N, называются счетными. Соответствие между множествами A и N можно рассматривать как нумерацию элементов множества A бесконечным числом номеров. Любое бесконечное подмножество счетного множества также счетно: его элементы можно расположить в произвольном порядке и каждому элементу поставить в соответствие его порядковый номер.

Менее очевидна счетность множества целых чисел Z. Однако, если, начиная с числа 0, нумеровать попеременно положительные и отрицательные числа:

. . . –n . . . –3 -2 -1 0 1 2 3 . . . n . . .

. . . 2n+1 . . . 7 5 3 1 2 4 6 . . . 2n . . . ,

то каждое целое число получит свой номер. Следовательно, множества Z и N эквивалентны.

Аналогичным образом можно показать, что объединение конечного или даже счетного множества счетных множеств счетно. Например, можно занумеровать натуральными числами все целочисленные точки плоскости (a, b), где a и b – целые. Рис. 2.2 показывает, как это можно сделать.

Рис. 2.2

Рациональному числу, представимому в виде дроби p/q (p, q – целые числа, q ≠ 0) можно сопоставить пару чисел (p, q), а также все пары (kp, kq) для целых значений k. Паре p/q соответствует ровно одно рациональное число. Отсюда можно вывести, что множество всех рациональных чисел – счетно.

Эквивалентные множества называют также равномощными, или имеющими одинаковую мощность. Таковы все счетные множества. Счетная мощность – минимальная среди бесконечных. Это означает, что любое бесконечное множество имеет счетное подмножество. Однако существуют и несчетные бесконечные множества: например, несчетными являются множество действительных чисел любого промежутка или множество R всех действительных чисел (см. Приложение 2). Мощность множества действительных чисел называется мощностью континуума. Поскольку, как показано выше, рациональные числа составляют счетное множество, множество иррациональных чисел несчетно, оно имеет мощность континуума.