Муниципальное образовательное учреждение

«Ардатовская средняя общеобразовательная

школа №2 им. С. И. Образумова»

для 10 профильного класса профильного уровня

Не бойся, что не знаешь — бойся, что не учишься

Китайская поговорка

р. п. Ардатов

2009

Гайдыш Л. В. – учитель информатики и ИКТ МОУ «Ардатовская средняя общеобразовательная школа №2 им. С. И. Образумова»,

Касюгин М. Н. – студент 1 курса физико-математического факультета ГОУ ВПО «Арзамасский государственный педагогический институт им. А. П. Гайдара».

Р. п. Ардатов, 2009.

Рабочая тетрадь предназначена для 10 профильного класса профильного уровня применительно к учебнику «Информатика и ИКТ» для 10 – 11 классов естественно – математического профиля общеобразовательных классов автора Н. Д. Угринович.

Создана для:

1) достижения целей раздела программы «Основы логики» :

• развитие умений самостоятельно работать с различными источниками информации;

• развитие умений выделять существенные высказывания в тексте задачи;

• развитие умений и навыков формализовывания высказываний;

• развитие умений составлять таблицы истинности, преобразовывать логические выражения, составлять логические схемы;

• освоение законов логики;

• совершенствование практических навыков решения задач несколькими способами;

• развитие логического мышления учащихся;

• развитие интереса школьников к предмету “Информатика и информационные технологии”.

2) для реализации следующих задач:

• научить выделять существенные высказывания в тексте задачи;

• научить формализовывать эти высказывания;

• научить представлять условия и решения задачи в различных видах (таблицы истинности, формулы, схемы);

• научить применять законы логики в решении задач;

• научить решать одну и ту же задачу несколькими методами и уметь оценивать эти методы;

• содействовать формированию у школьников образного и теоретического мышления;

• развить навыки анализа и самоанализа;

• формировать умения планировать свою деятельность;

• подготовить учащихся к успешному решению задач данного раздела на ЕГЭ.

Логика – наука о законах и формах мышления

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно

Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть

Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом

Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение

Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0)

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

Логическое умножение КОНЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И.

F = A & B

А	В	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Логическое сложение ДИЗЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ.

F = A ˅ B

А	В	F
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Логическое отрицание ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным/ Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО

F = ¬ A

А	F
1	0
1	0
0	1
0	1

Логическое следование ИМПЛИКАЦИЯ - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ … , ТО …

F = A B

А	В	F
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Логическая равнозначность ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ - определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначается символом "эквивалентности".

F = A B

А	В	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1. инверсия

2. конъюнкция

3. дизъюнкция

4. импликация

5. эквивалентность

Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

Количество строк = 2n + две строки для заголовка (n - количество простых высказываний)

Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций

При построении таблицы надо учитывать все возможные сочетания логических значений 0 и 1 исходных выражений. Затем – определить порядок действий и составить таблицу с учетом таблиц истинности основных логических операций.

ПРИМЕР: составить таблицу истинности сложного логического выражения

D = ¬ A & ( B ˅ C )

А,В, С - три простых высказывания, поэтому :

количество строк = 23 +2 = 10 (n=3, т.к. на входе три элеманта А, В, С)

количество столбцов :

1) А 2) В 3) С 4) не A это инверсия А (обозначим Е) 5) B ˅ C это операция дизъюнкции (обозначим F) 6) D = ¬A & ( B˅C ), т.е. D = E & F это операция конъюнкции

1	2	3	4	5	6
А	В	C	Е = ¬A	F = B˅C	D = E & F
1	1	1	0	1	0
1	1	0	0	1	0
1	0	1	0	1	0
1	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1
0	0	0	1	0	0

1. Закон непротиворечия:

A &А = 0

 Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

2. Закон исключенного третьего:

A А = 1

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.

3. Закон двойного отрицания:

= А

 Двойное отрицание исключает отрицание.

4. Закон коммутативности (переместительный):

— для логического сложения: — для логического умножения:

A  B = B  A A & B = B & A

 Можно менять местами переменные при операциях сложения и умножения.

В обычной алгебре:

a + b = b + a a  b = b  a

5. Закон ассоциативности (сочетательный):

— для логического сложения: — для логического умножения:

(A  B)  C = A  (B  C) (A & B) & C = A & (B & C)

При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

В обычной алгебре:

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (a  b)  c = a (bc) = a b c

6. Закон дистрибутивности (распределительный):

— для логического сложения — для логического умножения относительно умножения: относительно сложения:

(A  B) & (A  C) = A  (B & C) (A & B)  (A & C) = A & (B  C)

 В алгебре логики можно выносить за скобки общие слагаемые и общие множители.

В обычной алгебре:

----нет такого правила------ a b + ac = a (b + c)

9. Законы де Моргана (законы инверсии):

— для логического сложения: — для логического умножения:

  = А & B = А B

Общая инверсия двух слагаемых Общая инверсия двух сомножителей

равносильна логическому умножению равносильна логическому сложению

инвертированных переменных. Инвертированных переменных.

8. Правила равносильности

— для логического сложения: — для логического умножения:

A  A = A A & A = A

Эти правила означают отсутствие показателей степени.

9. Правила исключения констант:

— для логического сложения: — для логического умножения:

A  1 = 1 A & 1 = A

   A  0 = A A & 0 = 0

10.

А В = А  В А В = А & В

Существуют различные способы решения логических задач, которые обычно формулируются на естественном языке:

1. Первый способ заключается в формализации логических задач, т. е. задачи записываются на логическом языке, полученные логические выражения упрощаются с помощью эквивалентных преобразований с использованием законов логики и анализируются полученные результаты.

2. Второй способ заключается в построении таблиц истинности для логических выражений (количество таблиц может быть различным), с последующим анализом полученных результатов.

3. Третий способ заключается в анализе всевозможных вариантов ответов; в составлении схем по условию задачи, с последующим анализом результатов.

Логический элемент И

конъюнктор

Логический элемент ИЛИ

дизъюнктор

Логический элемент НЕ

инвертор

Задание 1

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X	Y	Z	F
0	1	0	0
0	1	1	1
1	1	0	0

Какое выражение соответствует F?

1. 

2. 

3. 

4. 

Решение:

Способ 1

Последовательно подставим первую строку таблицы истин­ности во все варианты ответов:

l) , а по условию F для этого набора значений равно 0. Первый ответ не подходит.

2. , по условию F = 0. Второй ответ пока под­ходит.

3. , по условию F =0. Третий ответ пока под­ходит.

4. , по условию F = 0. Четвертый ответ пока под­ходит.

Отбросив первый вариант ответа, подставим теперь вторую строку во все оставшиеся:

2. , по условию F = 1. Второй ответ отпадает.

2. , по условию F =1. Третий ответ пока под­ходит.

4) , по условию F = 1. Четвертый ответ пока под­ходит.

Подставим теперь третью строку в оставшиеся два варианта ответов:

3) , по условию F = 0. Третий ответ подходит для всех строк.

4) , по условию F = 0. Четвертый ответ не под­ходит.

Ответ: №3.

Способ 2

Составим фрагмент таблицы истинности всех перечисленных в ответах логических выражений для различных наборов переменных X, Y, Z:

X	Y	Z	F
0	0	0	1	0	1	1	0
0	0	1	0	1	1	0	1
0	1	0	1	0	1	1	1

Заметим, что значения истинности одинаковы для логических выражений F и при любых значениях аргументов X, Y, Z из данного фрагмента, следовательно, эти логические выражения равносильны.

Ответ № 3.

Задание 2 (2004 - А12)

Какое логическое выражение равносильно выражению Ø(АÚ Ø В)?

1) А Ú В

2) А Ù В

3) (ØА)Ú (Ø В)

4) (ØА) Ù В

Решение:

Ответ: № 4.

Задание 3 (2004 - А11)

Для каждого имени истинно высказывание: Ø (Первая буква имени гласная => Четвертая буква согласная)

1) ЕЛЕНА

2) ВАДИМ

3) АНТОН

4) ФЕДОР

Ответ: № 3.

Задание 4 (А10)

Из приведенных логических схем

эквивалентными являются схемы с выходными сигналами:

1) F1 и F2 2) F1 и F4 3) F1 и F3 4) F3 и F4 5) F2 и F4.

Решение:

Ответ: № 3.

Задача 1 (решения текстовой логической задачи)

Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на крас­ном «Рено», Джон сказал, что нарушитель уехал на синей «Тойо­те», а Сэм показал, что машина была точно не красная и, по всей видимости, это был «Форд». Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся.

Какая и ка­кого цвета была машина у нарушителя?

Ответ запишите в виде двух слов, разделенных пробелом: МАРКА ЦВЕТ. Например: ЖИГУЛИ БЕЛЫЙ.

Решение:

Способ 1

Обозначим высказывания:

А = «машина красного цвета»;

В = «машина была «Рено»;

С = «машина синего цвета»;

D = «машина была «Тойота»;

Е = «машина была «Форд».

Согласно условию:

из показаний Боба следует, что А v В истинно;

из показаний Джона следует, что С v D истинно;

из показаний Сэма следует, что — А v E истинно.

Следовательно, истинна и конъюнкция (А vВ) (С v D) ( А v E) = l.

Раскрывая скобки, получаем:

(А v В) (С v D) ( А v E) = (АС v А D v В С v ВD) (A v E) = A C A v A D A v B C A v B D A v A C E v A D E v B C E v B D E =1.

Из полученных восьми слагаемых семь (согласно условию) являются ложными, остается единственное истинное слагаемое (подчеркнуто):

B C A = 1.

Значит, нарушитель скрылся на автомобиле «Рено» синего цвета.

Ответ: «РЕНО СИНИЙ».

Способ 2

Решим задачу методом рассуждений.

Предположим, что Боб правильно сообщил цвет, но ошибся в марке. Следовательно, машина красная, и не «Рено». Тогда по­лучается, что Джон ошибся в цвете, но верно сообщил марку - «Тойота». Итак, предварительный вывод — красная «Тойота». Но при этом получается, что вопреки условиям задачи Сэм ошибся и в цвете, и в марке. Мы пришли к противоречию, значит, ис­ходное предположение было неверным. Отсюда мы заключаем, что Боб верно указал марку — «Рено», но ошибся в цвете. Итак, машина «Рено», но не красного цвета. Учитывая, что машина точно не «Тойота», из показаний Джона вытекает, что машина была синей. При этом также выполняется условие для показа­ний Сэма.

Ответ: «РЕНО СИНИЙ».

Задача 2 (2005 – В4)

Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

Кто это сделал? – спросила мама.

Коля не бил по мячу, - сказал Саша. – Это сделал Ваня.

Ваня ответил: - Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.

Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, - рассердилась мама. – Ну, а ты что скажешь? – спросила она Колю.

Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, - заявил Коля.

Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений сказали правду. Кто разбил вазу

Решение:

А = «Разбил Коля»

В = «Разбил Саша»

С = «Разбил Ваня»

- это два варианта слов Саши

- это два варианта слов Вани

- это два варианта слов Коли

1) А=1,В=0,С=0 - следовательно, разбил Коля

2) А=0, В=1, С=1 – не удовлетворяет условию задачи

Следовательно, разбил Коля.

Ответ: КОЛЯ.

Задача 3 (2004- А1)

В понедельник в одном из классов должно быть проведено 4 урока – по математике, физике, информатике и биологии. Учителя высказали свои пожелания для составления расписания. Учитель математики хочет иметь первый или второй урок, учитель физики – второй или третий урок, учитель информатики – первый или четвертый, учитель биологии – третий или четвертый.

Какой вариант расписания устроит всех учителей школы?

(Обозначения: М – математика, Ф – физика, И – информатика, Б – биология)

1) ИМБФ

2) МФБИ

3) МИФБ

4) МБФИ

Решение:

Ответ: № 2.