1.3. Порождающая процедура

Еще один способ задания множества связан с понятием порождающей процедуры: множество состоит из всех элементов, которые могут быть получены некоторой последовательностью операций из заданной конечной системы.

Простейший пример – задание последовательности элементов множества формулой, содержащей параметр: A = {X_k = 3 + 2(k² + 1)}, k = 0, 1, 2,...

Задавая различные значения параметра k, мы можем вычислять элементы множества A: X₀ = 5, X₁ = 7, X₂ = 13 и т.д. Подобное задание может быть явным, как в данном примере, или неявным, требующим разрешения. В частности, могут использоваться возвратные, или рекуррентные соотношения, когда одни элементы множества определяются через другие.

Примеры: 1. Арифметическая прогрессия определяется заданием ее первого члена а₁, разности прогрессии d и соотношением а_n+1 = а_n + d для n ≥ 1. Рекуррентная формула позволяет вычислять значения а₂ = а₁ + d, а₃ = а₂ + d = а₁ +2d, а₄ = а₃ + d = а₁ + 3d и т.д. Можно выразить n-й член прогрессии в явном виде: а_n = а₁ + d • (n – 1).

2. Геометрическая прогрессия определяется заданием ее первого члена b₁, знаменателя прогрессии q и соотношением b_n+1 = b_n • q для n ≥ 1. Можно последовательно вычислять значения b₂ = b₁ • q, b₃ = b₂ • q = b₁ • q², b₄ = b₃ • q = = b₁ • q³ и т.д.; n-й член этой последовательности выражается явно: b_n+1 = b₁ • qⁿ.

3. Последовательность чисел Фибоначчи задается условиями: а₁ = 1, а₂ = 1, а_n = а_n-1 + а_n-2 для n > 2.

Последняя формула позволяет последовательно вычислять значения а₃ = а₂ + а₁ = 1 + 1 = 2, а₄ = а₃ + а₂ = 2 + 1 = 3, а₅ = а₄ + а₃ = 3 + 2 = 5, а₆ = а₅ + а₄ = 5 + 3 = 8,... и т.д. Выражение общего n-го члена этой последовательности в явном виде существует, но более сложно.

Рассмотрим еще один способ задания числового множества M:

(1) 5  М;

(2) если а  М, то 1/ а  М;

(3) если а  М, то 1 - а  М.

Убедимся, что множество М конечно и состоит из 6 элементов, а именно М = {5, 1/5, -4, -1/4, 4/5, 5/4}. Действительно, для каждого a, начиная со значения a = 5, есть две возможности порождения новых элементов: операциями (2) или (3). При этом могут получаться и элементы, порожденные ранее. Так, из числа 5 операцией (2) получается 1/5, операцией (3) – число (–4), а из числа 1/5 операцией (2) – снова число 5 и т.д. Рассмотрим схему порождения (рис. 1.10), где операция (2) изображена тонкой стрелкой, а операция (3) – утолщенной. Схема показывает, что никаких других чисел процедуры (2) и (3) не дают.

Рис. 1.10

Упражнение. Проследите, какое число в множестве М порождается, начиная с элемента 5, конечной последовательностью операций (2), (3), (3), (2), (2), (3), (2).

Если же, например, в операции (3) заменить (1 – а) на (2 – а), то порождаемое множество будет бесконечным; в частности, из числа 5 чередованием операций (2) и (3) порождается последовательность чисел 5  1/5  9/5  5/9  13/9  9/13  17/13  13/17  . . .

1.4. Декартово произведение множеств

1. Декартовым (прямым) произведением A  B двух множеств A, B называется множество всех пар (a, b), где a  A, b  B.

Например, систему обозначений множества полей шахматной доски (a5, g3 и т.п.) можно считать декартовым произведением 8-элементного множества {a, b,..., h} и 8-элементного множества {1, 2,..., 8}.

Определение декартова произведения можно обобщить на n множеств:

произведение A₁  A₂  . . .  A_n – множество всех векторов (a₁, a₂,…,a_n),

где a_i  A_i (т.е. a₁  A₁, a₂  A₂,..., a_n  A_n); если все A_i одинаковы и равны A,

то произведение обозначается Aⁿ и называется n-й степенью множества A.

Примеры: 1. Если R – множество точек числовой прямой, то Rⁿ – множество точек n-мерного арифметического пространства; в частности, R² – множество точек плоскости, R³ – множество точек пространства трех измерений.

2. Рассматриваемый в физике пространственно-временной континуум, представляющий собой прямое произведение R³  T, где R³ – трехмерное пространство, а T – числовая ось времени.

3. Географические координаты точки земной поверхности: широта и долгота представляют элемент прямого произведения Ш  Д, где Ш = [-90°, 90°], Д = [-180°, 180°] .

4. Известно, что прямая в трехмерном пространстве определяется двумя точками в том смысле, что через две различные точки проходит ровно одна прямая. Упорядоченная пара точек (M, N) есть элемент прямого произведения R³  R³, которому можно сопоставить точку 6-мерного пространства – 6 чисел: тройку координат точки M и тройку координат точки N. В этом примере пара (N, M) определяет ту же прямую, что и (M, N), а пара одинаковых элементов (M, M) не определяет прямой.

5. Возможные исходы при бросании игральной кости составляют множество {1, 2, 3, 4, 5, 6}, т.е. промежуток [1, 6] натурального ряда. Если же игральную кость бросают 4 раза, то прост-ранство элементарных событий (термин, применяемый в теории вероятностей) представляет собой [1, 6]⁴, т.е. множество всех четверок (a₁, a₂, a₃, a₄), где a_i  {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

В отдельных случаях имеют содержательный смысл не все пары, тройки и т.д. Так, в примере 3 при Ш = 90° не имеет смысла значение Д (подобно тому, как в полярных координатах при r = 0 не определено значение полярного угла φ).

2. Если A и B – два множества, то A²  B²  (A  B)² ; равенство достигается только если A  B или B A (в частности, если A = B).

Практической иллюстрацией этого соотношения является следующий пример.

При исследовании функций действительной переменной в определении возрастающей функции на множестве фигурируют пары точек:

«если X₁ > X₂ , то f(X₁ ) > f(X₂)». (*)

Поэтому для функции f(x), возрастающей на множестве A₁, выполнено условие (*) для X₁, X₂  A₁, т.е. (X₁, X₂)  A₁². Аналогично, при возрастании той же функции на множестве A₂, условие (*) должно выполняться для (X₁, X₂)  A₂². На рис. 1.11 штриховкой показаны оба этих множества для наглядности: A₁ и A₂ – два непересекающихся промежутка A₁ = [a, b], A₂ = [c, d]. В то же время, для возрастания функции f(x) на объединении A₁  A₂ необходимо, чтобы условие (*) выполнялось для любой пары (X₁, X₂)  (A₁  A₂)². Из рис. 1.11 видно, что это множество на координатной плоскости состоит из 4 частей: двух квадратов [a, b]² и [c, d]² и двух произведений [a, b]  [c, d] и [c, d]  [a, b]. В этих частях множества (A₁  A₂)² условие (*) может выполняться не для всех пар (X₁, X₂). Поэтому из возрастания функции f(x) отдельно на A₁ и A₂ не следует, вообще говоря, возрастание на их объединении A₁  A₂. Рассмотрите, например, функцию Y = tg X в областях (0, π/2) и (π/2, 3π/2) (рис. 1.12).

Рис. 1.11 Рис. 1.12