4.4. Отношения порядка

1 . Отношения порядка x  y (читается: x предшествует y) обладают двумя свойствами:

1) если (a  b) и (b  c), то (a  c), т.е. x  y – транзитивное отношение (схема 4.1);

2) если (a  b) и a  b, то не выполнено (b  a), т.е. x  y – антисимметричное отношение.

Первое условие означает, что если первый из трех элементов предшествует второму, а второй предшествует третьему, то первый предшествует третьему. Второе условие означает, что два различных элемента не могут предшествовать друг другу.

Отношение порядка x  y может быть строгим, если оно антирефлексивно, и нестрогим, если оно рефлексивно. Примерами строгого порядка могут служить отношения "больше", "меньше", "старше" и т.п. Для чисел обычное обозначение порядка – знаки "< , >". Для нестрогого порядка, наряду с естественными примерами (a  b, a  b) неравенств для чисел, примером может служить отношение между точками плоскости или пространства "находиться ближе к началу координат".

Если в спортивном соревновании не предусматривается дележ мест (т.е. каждый участник получает определенное, только ему присужденное место), то это пример строгого порядка; в противном случае – нестрогого.

Отношения порядка устанавливаются на множестве различными способами. Установление для множества некоторого отношения порядка называется его упорядочением, а само множество в результате этого становится упорядоченным. Для конечного множества любая перестановка его элементов задает некоторый строгий порядок. Бесконечное множество можно упорядочить бесконечным множеством способов.

Элементы множества можно в одних случаях рассматривать как упорядоченные, а в других как неупорядоченные. Так, команда из 4 спортсменов – участников эстафеты – упорядоченная четверка (важно распределение по этапам); а 4 участника кросса – неупорядоченное множество. Отношение порядка на множестве М устанавливает на нем иерархию.

2. Если для отношения порядка  на множестве М и некоторых различных элементов a, b  M выполняется хотя бы одно из отношений a  b или b  a, то элементы а и b называются сравнимыми; в противном случае – несравнимыми.

Пример. Несколько лет назад одно из правил пользования московским метрополитеном не разрешало провоз громоздких предметов, если их размеры по длине, ширине и высоте больше 806040 см. Из этой формулировки не ясно, как сравнивать векторы – тройки размеров: запрещено или нет превышение хотя бы по одному из трех размеров (например, допустимы ли размеры 903530 или 504545 и т.п.). В современных правилах – точная формулировка: сумма трех измерений не должна превышать 150 см. Это уже означает, что сопоставляются числа, а все числа сравнимы.

Линейно упорядоченное множество М – множество, на котором задано отношение порядка, причем любые два элемента множества М сравнимы; частично упорядоченное множество – то же, но допускаются несравнимые пары элементов.

Линейно упорядоченным является множество точек на прямой с отношением “правее”, множества целых, рациональных, действительных чисел с отношением “больше” и т.п.

Примером частично упорядоченного множества могут служить соотношения между основными (I–IV) группами крови у человека: они определяются наличием или отсутствием двух антигенов A и B (например, группа II, т.е. тип A0 означает наличие A и отсутствие B). Частичный порядок X Y (нестрогий), представлен на рис. 4.2; он обозначает возможность переливания крови типа X обладателю крови типа Y. Группа I (тип 00) предшествует трем остальным. Группы II и III – не сравнимы.

Рис. 4.2

Еще один пример частично упорядоченного множества слов представлен на рис. 4.3. Частичный порядок определяется транзитивным отношением “быть подсловом”: так КОН –

подслово слова КОНЬ, а оно, в свою очередь, подслово слова БРАКОНЬЕР; слово АКТ – подслово слов ТАКТ и ПРАКТИКА, которые не сравнимы.

Рис. 4.3

Другой пример частично упорядоченного множества – трехмерные векторы, если порядок задан так: (a₁, a₂, a₃) (b₁, b₂, b₃), если a₁² + a₂² + a₃² < b₁² + b₂² + b₃², т.е. по длине векторов; несравнимыми являются векторы одинаковой длины.

3. Для того же множества векторов можно установить и линейный порядок: (a₁, a₂, a₃) (b₁, b₂, b₃):

а) если a₁ < b₁;

б) если a₁ = b₁, a₂ < b₂;

в) если a₁ = b₁, a₂ = b₂, a₃ < b₃.

Это пример алфавитного (лексико-графического) порядка.

Алфавит – это упорядоченное множество попарно различных символов, называемых буквами алфавита. Примером служит алфавит любого европейского языка, а также алфавит из 10 арабских цифр. В компьютере клавиатура и некоторые вспомогательные средства определяют алфавит допустимых символов.

Символы алфавита в ряде случаев считаются упорядоченными (в русском алфавите: а  б, б  в, в  г и т.д.)

Слово в алфавите – упорядоченная последовательность из символов алфавита. Слово записывается символами алфавита подряд, слева направо, без пробелов. Длина слова – число букв в нем. Иногда полезно рассматривать и пустое слово (его длина, естественно, равна 0). Натуральное число является словом в цифровом алфавите. Формула не всегда является словом из-за нелинейного расположения символов: наличие надстрочных (показатели степени) и подстрочных (индексы переменных, основания логарифмов) символов, дробная черта, знаки радикалов и др.; однако путем некоторых соглашений она может быть приведена к записи в строку, что и применяется, например, в компьютерном программировании (так, знак возведения в степень записывается как два знака умножения подряд: формула 5**3 означает третью степень числа 5).

Алфавитное упорядочение слов определяется первым слева различающим их символом (например, слово КОНУС предшествует слову КОСИНУС, поскольку они впервые различаются в третьей букве, и буква Н предшествует С в русском алфавите). Считается также, что символ пробела предшествует любому символу алфавита – для случая, когда одно из слов является префиксом другого (например, КОН и КОНУС).

Упражнение. Проверьте, что алфавитное упорядочение натуральных чисел, имеющих одинаковое число разрядов в десятичной записи, совпадает с упорядочением их по величине (ср. числа 28492 и 28615, но, с другой стороны, числа 28492 и 286).

4. Пусть A – частично упорядоченное множество. Элемент a  A называется максимальным в A, если не существует элемента b  A, для которого a < b. Элемент называется наибольшим в A, если для всякого отличного от a элемента b  A выполнено неравенство b < a. Симметричным образом определяются минимальный и наименьший элементы. Понятия наибольшего и максимального (соответственно, наименьшего и минимального) элементов различны (рис. 4.4). Множество на рис. 4.4, а имеет наибольший элемент p, он же является максимальным; минимальных элементов два: s и t, наименьшего нет. На рис. 4.4, б, напротив, множество имеет два максимальных элемента i и j, наибольшего нет, минимальный, он же наименьший – один: m.

а) б)

Рис. 4.4

Вообще, если у множества есть наибольший (соответственно, наименьший) элемент, то только один (может не быть ни одного). Максимальных и минимальных элементов может быть несколько (может не быть совсем – в бесконечном множестве; в конечном случае – обязательно есть).

Разберем еще два примера. X Y – отношение на множестве натуральных чисел N: «Y делит X», или, по-другому, «Х является делителем числа Y» (например, 1 5, 7 35) является рефлексивным и транзитивным. Рассмотрим его на конечном множестве D₃₀ = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} делителей числа 30. Отношение X Y является отношением частичного порядка (нестрогого) и изображается следующей матрицей порядка 8, содержащей 31 знак «+».

X: 1 2 3 5 6 10 15 30

Y: 1 ¦ + – – – – – – –

2 ¦ + + – – – – – –

3 ¦ + – + – – – – –

5 ¦ + – – + – – – –

6 ¦ + + + – + – – –

10 ¦ + + – + – + – –

15 ¦ + – + + – – + –

30 ¦ + + + + + + + +

Соответствующая схема с 8 вершинами должна содержать 31 связку. Однако она будет более удобна для обозрения и анализа, если исключить 8 связок-петель, изображающих рефлексивность отношения (диагональные элементы матрицы) и транзитивные связки, т.е. связки X Y, если есть промежуточное число Z такое, что X Z и Z Y (например, связку 3 30, поскольку 3 15 и 15 30). Тогда в схеме останется 12 связок (рис. 4.5); недостающие звенья подразуме-ваются «по транзитивности». Число 1 является наименьшим, а число 30 наибольшим элементами в множестве D₃₀.

Рис. 4.5. Рис. 4.6

Замечание. Если исключить из D₃₀ число 30 и рассмотреть тот же частичный порядок на множестве D₃₀ \ {30}, то наибольшего элемента нет, но имеются 3 максимальных элемента: 6, 10, 15; если же, напротив, исключить из D₃₀ число 1 и рассмотреть тот же частичный порядок на множестве D₃₀ \ {1}, то наименьшего элемента нет, но имеются 3 минимальных элемента: 2, 3, 5.

Теперь построим такую же схему для отношения включения s  t на булеане (множестве всех подмножеств) B(M₃) трехэлементного множества M₃ = {a, b, c}. B(M₃) содержит 8 элементов:

B(M₃) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Проверьте, что если сопоставить элементам a, b, c, соответственно числа 2, 3, 5, а операции объединения множеств – умножение соответствующих чисел (т.е., например, подмножеству {a, c} отвечает произведение 2 • 5 = 10), то матрица отношения s  t будет точно такой же, как для отношения X Y; схемы этих двух отношений с описанными сокращениями петель и транзитив-ных связок с точностью до обозначений совпадают (рис. 4.6). Наименьшим элементом является , а наибольшим – {a, b, c}.

Бинарное отношение R на множестве A и бинарное отношение S на множестве B называются изоморфными, если между A и В можно установить взаимно однозначное соответствие Г, при котором α₁ R α₂ → Г(α₁) S Г(α₂), т.е. если элементы α₁ и α₂ находятся в отношении R, то образы этих элементов Г(α₁) и Г(α₂) находятся в отношении S.

Так, частично упорядоченные множества D₃₀ и B(M₃) изоморфны. Рассмотренный пример допускает обобщение.

5. Отношение M  N на булеане B(E) есть частичный порядок. Если E = n, т.е. множество E содержит n элементов {e₁, e₂,..., e_n}, то каждому подмножеству M  B(E) соответствует n-мерный вектор с компонентами χ_M(e_n), где χ_M – характеристическая функция множества. Совокупность всех таких векторов можно рассматривать как множество точек n-мерного арифметического пространства с координатами 0 или 1, или, по-другому, как вершины n-мерного единичного куба, обозначаемого Eⁿ, т.е. куба с ребрами единичной длины. Для n = 1, 2, 3 указанные точки представляют собой соответственно концы отрезка, вершины квадрата и куба – отсюда общее название (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Для n = 4 графическое изображение этого отношения – на рис. 4.8. Около каждой вершины 4-мерного куба указано соответствующее подмножество 4-элементного множества и четырех-мерный вектор, представляющий характеристическую функцию этого подмножества. Соединены между собой вершины, отвечающие подмножествам, которые различаются присутствием ровно одного элемента (соответствующие векторы различаются ровно в одном разряде). Наименьшим элементом является , а наибольшим – {a, b, c, d}.

Рис. 4.8

На рис. 4.9 – другие наглядные представления 4-мерного куба; на рис. 4.9, а ось первой переменной ОХ направлена вверх (намеренное отклонение от вертикали, чтобы не сливались различные ребра куба): при этом 3-мерный подкуб, соответствующий Х = 0 расположен ниже, а для Х = 1 – выше.

На рис. 4.9, б та же ось ОХ направлена изнутри куба наружу: внутренний подкуб соответствует Х = 0, а внешний – Х = 1.

а) б)

Рис. 4.9

В Приложении 3 приведено изображение 5-мерного единичного куба.