4.3. Отношения эквивалентности

Отношение эквивалентности – бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примеры. 

1. Рассмотренные выше отношения равенства для геометрических фигур или чисел.

2. Отношение параллельности прямых или плоскостей.

3. Отношение подобия треугольников.

4. Отношение пропорциональности Р между парами чисел (X, Y) и (Z, T): (X, Y) P (Z, T), если X/Y = Z/T.

5. Отношение «быть одноклассниками» между учащимися школы;

6. Упоминавшееся выше отношение между целыми числами – «иметь одинаковые остатки от деления на 7».

Пусть на множестве М введено некоторое отношение эквивалентности R. Для каждого элемента α  M рассмотрим множество M_α = {β: αRβ} элементов M, эквивалентных α. В силу симметричности и транзитивности отношения R, если αRβ, то M_α = M_β. Если же α β, то M_α ∩ M_β = ; иначе, если бы существовал элемент γ  M_α ∩ M_β, то выполнялось бы αRγ и βRγ, в силу транзитивности R, αRβ.

Таким образом, система различных множеств {M_α} – разбиение множества M (полнота разбиения обусловлена рефлексивностью R), и тем самым, каждое отношение эквивалентности R на множестве порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности бинарного отношения R на множестве – систему подмножеств множества такую, что:

1) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

2) любые два элемента из разных классов не эквивалентны.

Верно и обратное. Любое разбиение множества M можно рассматривать как отношение эквивалентности, в котором находятся пары элементов, отнесенные к одному и тому же классу разбиения, и не находятся элементы из разных классов.

Группировку объектов, применяемую в статистике, законодательстве и в других областях (например, разделение предприятий на малые, средние и крупные для установления нормативов, единых для всех элементов группы), можно рассматривать как установление эквивалентности.

Классы эквивалентности для примеров 2–6:

(2) – множества параллельных друг другу прямых или плоскостей; если прямые (плоскости) пересекаются – они в разных классах;

(3) – множества подобных друг другу треугольников; в разных классах – треугольники разной формы;

(4) – пары чисел (X, Y), имеющих одинаковое значение частного X / Y;

(5) – учащиеся одного школьного класса;

(6) – семь классов чисел N_k (k = 0, 1,..., 6), имеющих остаток k при делении на 7;

Класс N_k содержит числа вида 7n + k (n = 0, 1, 2,...). Например, для k = 4 класс N₄ – это множество (..., -10, -3, 4, 11, 18, 25,...).

Рассмотрим еще один важный пример. Определим отношение Э между множествами следующим образом: Э (L, M), или короче LЭM – , если существует взаимно однозначное соответствие между множествами L и M. Можно показать, что Э является отношением эквивалентности. Действительно, если для трех множеств L, M, K выполнено LЭM и MЭK, то элементу l  L соответствует некоторый элемент m  M, а элементу m  M соответствует элемент k  K, и оба этих взаимно однозначных соответствия – симметричные отношения; тогда LЭK, поскольку можно сопоставить элементу l элемент k, и это соответствие также взаимно однозначно. Классы эквивалентности состоят при этом из множеств, имеющих одинаковую мощность (для конечных множеств – одинаковое число элементов).