4. Бинарные отношения

4.1. Отношения на множествах

1. Одним из синонимов общего понятия соответствия является отношение.

Начнем с примеров. Натуральные числа могут быть полными квадратами, как 4, 81, 144, или не быть ими, как 5, 30, 48. Это свойство, или признак числа, можно трактовать как принадлежность к определенному подмножеству натуральных чисел – полных квадратов {0, 1, 4, 9, 16, 25,...}. То же можно сказать про признак «X > 2» для действительных чисел: число 5 обладает этим свойством, а число 1 – нет. Напротив, неравенство X > Y выражает свойство не одного числа X или Y, а совокупное свойство пары чисел: если X = 5, Y = 3, то неравенство выполняется, а для пар (5, 10) и (3, 5) не выполняется. Можно выразить это так: условие X > Y выполнено для определенного множества пар чисел.

Некоторые понятия как в математике, так и в обычном языковом употреблении самими своими названиями предполагают отношения между субъектами или объектами: сосед, знакомый (чей-то), одноименный, сопоставимый (с кем-либо или чем-либо), отличающийся (от чего-то другого), внутри, снаружи, между и др.

Таким образом, бинарное отношение – это свойство, присущее некоторым парам элементов a  M₁, b  M₂. Обозначения бинарного отношения R(a, b) или aRb сходны с обозначением алгебраической операции, но результат отношения – выполнение или невыполнение свойства R. Можно также считать, что результат – множество тех пар (a, b), для которых свойство R выполнено.

Примеры: 1) бинарное отношение равенства между двумя числами, фигурами, множествами;

2) бинарное отношение старшинства между людьми по возрасту («старше», «моложе») или воинскому званию;

3) бинарные родственные и другие отношения между людьми: «быть отцом», «быть внуком», «быть одноклассниками», «быть одногодками»;

4) бинарное отношение C₇ между целыми числами – «иметь одинаковые остатки от деления на 7»;

5) отношение принадлежности элемента a множеству M, выполненное для всех таких пар (a, M), что a  M;

6) бинарное отношение инцидентности точки и прямой на плоскости или в пространстве: точка А лежит на прямой l.

Упражнение. 1) Определите, находятся ли в отношении C₇ пары чисел: (12, 26), (16, 34), (34, 16), (26, 12);

2) в каком отношении из примера 2 находятся Л.Н. Толстой и И.С. Тургенев?

3) находятся ли в отношении инцидентности точка плоскости (4, 1) и прямая Y = X – 3?

Поскольку бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы все теоретико-множественные операции: объединение, пересечение, дополнение и др. Так, объединение отношений X > Y и X = Y на числовом множестве есть отношение X  Y , а дополнение к последнему есть отношение X < Y.

Еще один важный пример – отношение включения для множеств. Если M, N – подмножества универсального множества U , то (M  N) – бинарное отношение M есть подмножество множества N; например, как указано выше, для чисел выполнено включение Z  R.

2. Равенство отношений R₁ = R₂ есть равенство множеств R₁ и R₂, определяющих эти отношения, хотя бы они были выражены по-разному. Например, отношения между натуральными числами «иметь одинаковые остатки от деления на 2» и «давать при сложении четное число» совпадают. Действительно, остатки от деления двух чисел p и q на 2 равны, если они оба четные (в этом случае остаток 0) или оба нечетные (остаток 1).

То же при сложении чисел p и q: если сумма четная, то оба слагаемых – одной четности, в то время как сумма четного и нечетного чисел – нечетна.

Бинарное отношение на конечном множестве можно представить квадратной матрицей (таблицей), у которой строки и столбцы – это элементы множества, а элемент матрицы, находящийся на пересечении строки x и столбца y, равен 1, если xRy, и равен 0 в противном случае.

Пример. Рассмотрим 4 отношения R₁, R₂, R₃, R₄ на множестве из трех элементов M{a, b, c}; каждое из них задано перечислением пар, для которых это отношение выполнено.

_{R1 = {(a, b), (b, c), (c, a)};}

R₂ = {(a, a), (a, b), (b, b), (b, c), (c, a)};

_{R3 = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, c)};}

_{R4 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b)}.}

Соответствующие матрицы:

^{, , , .}

Бинарное отношение aRb можно изобразить схемой (рис. 4.1) сопоставив элементам множества точки (вершины), а парам (a, b) R-связки (линии со стрелками, идущие из a в b).

Рис. 4.1

Инверсией бинарного отношения R называется отношение, обозначаемое R^-1 и такое, что aR^-1b тогда и только тогда, когда bRa. Понятно, что инверсией отношения R^-1 является отно-шение R, т.е. можно сказать, что отношения R и R^-1 взаимно обратны.

Пример. Инверсией для отношения «больше» является отношение «меньше»; то же – для их разновидностей: «старше – моложе», «дороже – дешевле», «выше – ниже» и т.п.; инверсия отношения «x – внук y» - «y – дед x».

Инверсия отношения отличается от отрицания: инверсией отношения x > y на множестве чисел является отношение x < y, тогда как отрицанием – отношение x ≤ y.

Инверсия отношения инцидентности точки и прямой – прямая l проходит через точку А.

3. Возможно обобщение понятия бинарного отношения: n-арное (n-местное) отношение на множестве М - подмножество R  Mⁿ; обозначение - R(m₁, m₂,..., m_n). Говорят, что элементы, составляющие принадлежащий множеству R набор (m₁, m₂,..., m_n), находятся в n-арном отношении R, причем это свойство не отдельных элементов, а именно их совокупности. Полезно рассматривать и одноместное (унарное) отношение – его можно называть признаком, или свойством элементов множества. В более общем смысле n-арное отношение можно определить и для совокупностей элементов различных множеств M₁, M₂,..., M_n как подмножество R  M₁  M₂  . . .  M_n. Число n называется арностью, или местностью отношения.

Примеры. 1) Трехместное (тернарное) отношение «между» для тройки точек А, В, С на прямой: точка В расположена между точками А и С.

2) Тернарное отношение для тройки точек на плоскости – «лежать на одной прямой».

3) Четырехместное отношение для точек пространства – «принадлежать одной плоскости» (можно заметить, что трехместное отношение для точек пространства – «принадлежать одной плоскости» выполнено для любых трех точек).

4) Четырехместное отношение для четверки чисел X, Y, Z, T – «быть пропорциональными», т.е. удовлетворять соотношению X/Y = Z/T.

5) Тернарное отношение S(А, В, l) двух точек А, В и прямой l на плоскости – «точки А и В находятся по разные стороны от прямой l».