3.4. Проценты
Процентом (от лат. “pro cento” - с сотни) некоторой величины называется сотая часть этой величины.
Три основные задачи на проценты таковы.
Задача 1. Найти указанный процент данного числа a.
Для
этого данное число умножается на число
процентов; результат делится на 100, то
есть
р% от числа а
составляет х
=
.
Задача 2. Найти число по заданной величине b и указанному ее проценту p.
Для
этого заданная величина делится на
число процентов; результат умножается
на 100, то есть если р% от х
равно b,
то х =
.
Задача 3. Найти выражение одного числа a в процентах от другого числа b.
Для
этого умножаем первое число на 100,
результат делим на второе число, то есть
а
составляет
%
от b.
Указания. При решении задач на проценты необходимо твердо помнить, что:
1) при нахождении нескольких процентов от числа данное число принимается за 100%;
2) при нахождении числа по данным его процентам искомое число принимается за 100%;
3) при нахождении процентного отношения двух чисел за 100% принимается то число, с которым сравнивается другое.
Пример 1. На товар снизили цену сначала на 15%, а через год еще на 12%. Какова теперь цена товара, если до первого снижения цен он стоил 18000 руб.?
Решение.
Уменьшить число на р%
- это значит умножить его на (1-
).
В самом деле, из задачи 1 вытекает, что р% от числа а составляет . Значит, после уменьшения числа а на р% получится число а - = а • (1- ). Таким образом, после первого снижения цена товара будет равна 18000 • (1-0,15) = 15300 (руб). После второго снижения цены на 12% новая цена товара равна 15300 • (1-0,12) = 13464 (руб).
Пример 2. Цена на товар понизилась на 40%, затем возросла на 25%. На сколько процентов изменилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?
Решение.
Обозначим через а
первоначальную цену товара. Тогда после
первого снижения цена товара будет
равна а
• (1-0,4) = 0,6а.
После второго изменения новая цена
будет равна
0,6а
• (1+0,25) = 0,75а.
Значит, цена товара после двукратного
изменения уменьшилась на величину а
– 0,75а
= 0,25а,
что составляет
%
= 25% (см. задачу 3).
Пример 3. Первое число составляет 40% от второго. Сколько процентов от первого числа составляет второе?
Решение.
Пусть а
– первое число.
Тогда второе число будет равно
= 0,4а
(см. задачу 1). Значит, второе число от
первого составляет
%
= 250% (см. задачу 3).
Пример 4. Первое число на 25% больше второго. На сколько процентов второе число меньше первого?
Решение.
Второе число обозначим через а.
Тогда первое число будет равно
а
• (1+0,25) = 1,25а
(см. задачу 1). В то
же время второе число меньше первого
на величину
(1,25а
– а)
= 0,25а.
Как следует из задачи 3, она составляет
%
= 20%.
При многоэтапном начислении банковских процентов могут применяться две схемы. Схема простых процентов представляет собой процесс, при котором сумма вклада возрастает на каждом этапе на одно и то же количество процентов по отношению к первоначальному значению S0. При этом она возрастает на одну и ту же величину, т.е. изменяется в арифметической прогрессии с разностью прогрессии d и соотношением Sn+1 = Sn + d.
В схеме сложных процентов величина возрастает на каждом этапе на одно и то же количество процентов по отношению к предыдущему значению Sn, т.е. в одно и то же число раз, и изменяется в геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии q и соотношением bn+1 = bn • q.
Пример. Если банк начисляет ежегодно 10% на вклад 3000 руб. по схеме простых процентов, то первоначальная сумма будет последовательно принимать значения 3300, 3600, 3900, 4200,... (разность прогрессии равна 300 руб.). По схеме сложных процентов она будет принимать значения 3300, 3630, 3993, 4392.3,... (знаменатель прогрессии равен 1.1).