3.2. Ассоциативные и коммутативные операции

Ассоциативной бинарной операцией называется операция φ, если она обладает сочетательным свойством . Ассоциативность позволяет записывать последовательность таких операций без скобок: a b c. Ср. в арифметике формулы a + b + c, abcd.

Примером ассоциативных операций служат объединение и пересечение множеств. Операция деления чисел не ассоциативна: (24 : 3) :4 = 2, тогда как 24 : (3 : 4) = 24 : 3/4 = 32. Также не ассоциативно вычитание (проверьте это). Поэтому для бесскобочной записи так называемой алгебраической суммы 20 – 5 –7 принято специальное соглашение: она означает (20 –5) –7, но не 20 – (5 –7), т.е. сложения и вычитания выполняются последовательно слева направо.

Пример. Является ли ассоциативной алгебраическая операция возведения в степень X^Y натуральных чисел, т.е. выполняется ли для всех троек чисел равенство (X^Y)^Z = ? На примере чисел 5, 3, 2 проверяем: (5³)² = 5⁶ ≠ = 5⁹, следовательно, ассоциативность не выполняется.

Коммутативной бинарной операцией называется операция, обладающая свойством перестановочности: a b = b a.

Пример. Коммутативны сложение и умножение чисел, сложение и скалярное умножение векторов, объединение и пересечение множеств симметрическая разность множеств. Тем же свойством обладает сложение (т.е. последовательное выполнение) поворотов плоскости вокруг начала координат. Некоммутативными операциями над числами являются вычитание и деление (a – b ≠ b – a, a/b ≠ b/a); некоммутативна разность множеств (A\B ≠ B\A).

Примером некоммутативной операции является сложение S + T (т.е. последовательное выполнение) отражений плоскости относительно любых двух не перпендикулярных друг другу осей; например, оси ординат (операция S) и биссектрисы Y = X (операция T). На рис. 3.1 показано, как точка А (2, 5) переводится преобразованием S в точку А₁(-2, 5), а та, в свою очередь, преобразованием Т – в точку А₂ (5, -2). При изменении порядка отражений точка А переходит последовательно в А₃ (5, 2) и А₄ (-5, 2): А₂ ≠ А₄ .

Рис. 3.1

Упражнение. Определите, для каких пар нижеследующих операций над предметами туалета их последовательное применение перестановочно: "надеть пиджак", "надеть туфли", "надеть шапку", "надеть пальто", "надеть носки".

Ассоциативными и коммутативными являются операции max(X, Y) и min(X, Y) на множестве чисел; поэтому можно употреблять записи без скобок max(X, Y, Z, T), min(A, B, C); к тому же, например, min(A, B, C) = min(В, С, А).

Дистрибутивность одной бинарной операции φ относительно другой операции ψ выражает распределительный закон, подобный арифметическому соотношению (a + b) · c = a · c + b · c. Свойством дистрибутивности в арифметике обладает умножение относительно сложения, но не обладает сложение относительно умножения: a · (b + c) = a · b + a · c, но a · b + c ≠ (a + c) · (b + c).

Дистрибутивность позволяет раскрывать скобки в формулах.

В операциях над множествами пересечение дистрибутивно относительно объединения: (А  В)  С = (А  С)  (В  С). Верно и обратное: объединение дистрибутивно относительно пересечения: (А  В)  С = (А  С)  (В  С).

Изоморфизм двух алгебр сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность.

Система нескольких алгебраических операций на множестве при возможности их последовательного выполнения в различных сочетаниях образует рассмотренную выше порождающую процедуру. Так, различные вычисления, в том числе достаточно сложные, осуществляются с помощью четырех арифметических действий. Правила шахматной игры определяют возможные ходы, т.е. преобразования позиции на доске, так что разные последовательности ходов создают большое разнообразие шахматных партий.