2.5. Схемы из функциональных элементов

Суперпозиции одноместных и двуместных функций удобно представлять в виде символических схем вычисления. Внутренние и внешние одноместные и двуместные функции изображаются функциональными элементами с одним или двумя входами (по числу аргументов) и одним выходом. Можно рассматривать, конечно, функции и соответственно элементы с большим числом аргументов. Элемент, которому приписана функция, графически представляет собой треугольник; входные полюсы – на основании, выход – вершина треугольника (рис. 2.8). Выходы элементов могут присоединяться к входам других элементов, означая подстановку внутренней функции во внешнюю.

Рис. 2.8

Определим индуктивно понятие вычислительной схемы (обратите внимание на то, как строится определение: вводятся некоторые начальные объекты, и задается способ образования из них других, более сложных объектов, т.е. порождающий процесс; такой тип определения называется индуктивным).

Пусть имеется конечное множество объектов {S_i}, которые будем называть структурными элементами. Каждый элемент S_i имеет некоторое количество n_i входов и 1 выход. Сеть из структурных элементов определяется следующим образом.

1. Каждый элемент S_i является сетью, входы и выходы сети – это соответственно, входы и выходы элемента S_i (рис. 2.9, а).

а) б)

Рис. 2.9

2. Пусть S – структурный элемент с m входами и ₁, ₂,..., _m – сети из структурных элементов. Тогда соединение  этих сетей, изображенное на рис. 2.9, б, является сетью: ее входы – объединение входов сетей ₁, ₂,..., _m, выходы сетей ₁, ₂,..., _m присоединены в определенном порядке к входам элемента S. Заметим, что у сетей _I и _j могут быть пересекающиеся множества входов. Выходом сети  считается выход элемента S.

Сети ₁, ₂,..., _m называются подсетями, а их элементы вместе с элементом S – элементами сети .

Схемой из функциональных элементов называется сеть, элементам которой приписаны (сопоставлены) функции, так что элементу S с k входами соответствует k-местная функция f(x₁, x₂,..., x_k). Будем говорить, что элемент S реализует функцию f(x₁, x₂,..., x_k). Значения выходов одних элементов служат значениями аргументов для функций других элементов в соответствии со структурой схемы, причем для элементов, реализующих некоммутативные операции, важен порядок аргументов. Если функция f_S, сопоставленная некоторому элементу S, не определена на каком-либо наборе значений своих аргументов, то на этом наборе не определены как значения выхода S, так и все функции элементов, на входы которых поступают значения f_S. Рис. 2.10 демонстрирует разницу в реализуемых функциях при различном порядке присоединения.

Рис. 2.10

На рис. 2.11 – пример схемы, состоящей из 6 элементов, реализующих 4 функции: f₁, f₃ – двуместные; f₂, f₄ – одноместные (элементы f₁, f₃ присутствуют дважды, причем в одном случае на оба входа элемента f₁ подаются одинаковые значения). Независимо от реального содержания f₁ - f₄ схема реализует вполне определенную сложную суперпозицию

Рис. 2.11

Для удобства чтения сложной формулы показаны соответствующие друг другу левая и правая скобки.

Если, например, элементы f₁  f₄ вычисляют конкретные числовые функции:

f₁ (Х, Y) = X ∙ Y;

f₂ (Х) = ;

f₃ (Х, Y) = X – Y;

f₄ (Х) = lg X,

то схема реализует функцию двух переменных Z(X, Y) = (lg (X² - Y)) ∙ (C - ), что и обозначено на рис. 2.11.

Вычислительная процедура определяется, вообще говоря, неоднозначно и зависит от того, какие функции приняты за исходные. Так, функция может рассматриваться как элементарная функция (рис. 2.12, а), реализуемая одним элементом; как каскад из двух умножений (рис. 2.12, б) в виде двух элементов умножения; как частный случай двуместной функции Z = X^Y при Y = 3 (рис. 2.12, в). В последнем случае в качестве аргумента участвует функция-константа g = 3.

Рис. 2.12

Схема из функциональных элементов соответствует формуле, и если одну и ту же функцию представить разными формулами, то она может быть реализована различными схемами (рис. 2.13, а и 2.13, б).

а) б)

Рис. 2.13

Пример. Формулу Z = реализует схема рис. 2.13, а, а тождественную ей

(при X, Y > 0) формулу – схема рис. 2.13, б.

Упражнение: построить схемы вычисления функций действительных переменных, используя элементы, реализующие основные элементарные функции и арифметические действия:

а) Z(X, Y) = 2^Y-2X • ;

б) W(X, Y, Z) = sin(X – Z / Y²).