С овременная

Гуманитарная

Академия

Дистанционное образование

3346.01.01;РУ.01;1

Рабочий учебник

Фамилия, имя, отчество обучающегося __________________________________________________

Направление подготовки ______________________________________________________________

Номер контракта _____________________________________________________________________

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ЮНИТА 1

МНОЖЕСТВА И СООТВЕТСТВИЯ

МОСКВА 2007

Разработано Ф.Я. Ветухновским, канд. физ.-мат. наук, доц.

Под ред. Б.П. Осиленкера, д-ра физ.-мат. наук, проф.

Рекомендовано Учебно-методическим

советом в качестве учебного пособия

для студентов СГА

КУРС: ДИСКРЕТНАЯ Математика

Юнита 1. Множества и соответствия.

Юнита 2. Комбинаторика. Графы и сети.

Юнита 3. Булевы функции и предикаты.

Юнита 4. Кодирование. Конечные автоматы.

ЮНИТА 1

Содержит основные понятия и факты о структурах и задачах на конечных множествах, включая элементы теории множеств, функциональные соответствия и отношения, элементы общей алгебры. Изложение сопровождается большим количеством примеров и упражнений как в тексте, так и в Приложении 1. Разделы и упражнения, предназначенные для дополнительного изучения, выделены знаком в начале и в конце фрагмента.

Для студентов Современной Гуманитарной Академии

__________________________________________________________________

© СОВРЕМЕННАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ, 2007

О Г Л А В Л Е Н И Е

Стр.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН 5

ЛИТЕРАТУРА 6

ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ 7

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР 8

ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДМЕТ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ 8

1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА 9

1.1. Множество. Подмножество. Универсальное множество 9

1.2. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, дополнение 11

1.3. Порождающая процедура 15

1.4. Декартово произведение множеств 17

2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ 18

2.1. Соответствие между множествами 18

2.2. Взаимно однозначное соответствие 20

2.3. Числовые и точечные промежутки 21

2.4. Суперпозиция функций 24

2.5. Схемы из функциональных элементов 25

3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ 29

3.1. Операции на множестве 29

3.2. Ассоциативные и коммутативные операции 31

3.3. Двоичная система счисления 33

3.4. Проценты 36

4. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 38

4.1. Отношения на множествах 38

4.2. Рефлексивные, симметричные, транзитивные отношения 40

4.3. Отношения эквивалентности 42

4.4. Отношения порядка 43

ПРИЛОЖЕНИЯ 49

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 58

ТРЕНИНГ УМЕНИЙ 64

ГЛОССАРИЙ 71

Дидактический план

Множество. Способы задания множеств. Характеристическое свойство. Универсальное множество. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, дополнение. Диаграммы Венна. Булеан. Разбиение множества. Порождающая процедура. Декартово произведение множеств.

Соответствие между множествами. Образ и прообраз. Функциональное соответствие. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества. Мощность бесконечного множества. Счетные множества. Числовые промежутки: отрезок, интервал. Окрестность точки. Числовая функция. Характеристическая функция множества. Суперпозиция функций. Формула. Класс элементарных функций действительной переменной. Схемы из функциональных элементов.

Алгебраические операции на множестве. Бинарные операции. Множество, замкнутое относительно операции. Алгебра. Изоморфизм алгебр. Алгебра Кантора. Коммутативные, ассоциативные операции. Числовые функции как алгебраические операции. Позиционная система счисления. Двоичная система. Вычисления с процентами.

Отношения между элементами множества. Бинарные отношения. Матрица отношения. Многоместные отношения. Рефлексивные, симметричные отношения. Транзитивность бинарного отношения. Транзитивное замыкание отношения. Отношения эквивалентности. Отношения строгого и нестрогого порядка. Линейно упорядоченное множество. Частично упорядоченное множество. Алфавитное упорядочение. Максимальные (минимальные) и наибольшие (наименьшие) элементы. Изоморфизм отношений. Отношения включения для множеств на булеане. n-мерный единичный куб.

Литература Основная

1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

2. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: Учебное пособие. – Ростов-н/Д.: Феникс; Харьков: Торсинг, 2003.

3. Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика. – М.: Академия, 2004.

Дополнительная

1. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Ч. 1. Начало теории множеств. – М.: МЦНМО, 1999.

2. Дискретная математика: Энциклопедия. – М.: Большая Российская энциклопедия, 2004.

3. Козлов В.Н. Математика и информатика: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2004.

4. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. ‑ 2-е изд. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

5. Турецкий В.Я. Математика и информатика (для студентов по гуманитарным специальностям). ‑ 3-е изд. – М.: Инфра-М, 2004.

6. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике. ‑ 2-е изд. – М.: УРСС (изд-во научной и учебной литературы), 2001.

Перечень умений

№ п/п	Умение	Алгоритм
1	Перевести в двоичную систему заданные деся-тичные числа	1. Использовать шкалу степеней основания двоичной системы – числа 2. 2. Представить заданное число в виде суммы элементов шкалы, последовательно выделяя максимально возможное слагаемое. 3. Выделить на шкале слагаемые, участвующие в разложении: им соответствует цифра 1 в двоичном представлении; отсутствующим – цифра 0
2	Перевести в десятичную систему заданные двоич-ные числа	1. Использовать шкалу степеней основания двоичной системы – числа 2. 2. Знакам 1 в двоичном представлении заданного числа сопоставить элементы шкалы. 3. Сложить выделенные числа – степени числа 2
3	Найти и показать на числовой прямой про-межутки, полученные с помощью теоретико-мно-жественных операций над числовыми проме-жутками	1. Изобразить заданные множества на числовой прямой. 2. Найти и показать на числовой прямой пересечение, объединение, разности заданных промежутков, дополнение до универсального множества
4	Определить, какую функ-цию двух переменных W(X,Y) реализует задан-ная схема из функцио-нальных элементов	1. Пронумеровать элементы и сопоставить им реализуемые ими одноместные и двуместные операции. 2. Записать формулами суперпозиции промежуточных данных, последовательно выполняя соответствующие подстановки
5	Определить порядок действий при вычисле-нии значения суперпози-ции элементарных функций. Построить схему из функциональных эле-ментов, реализующей функцию	1. Составить иерархическую схему последовательности действий: а) определить состав переменных и констант в формуле, кото-рая задает функцию; б) определить внешнюю операцию (функцию) и основные подформулы; в) определить, какие из функций, составляющих суперпозицию, являются одноместными, а какие двуместными. 2. Построить схему из функциональных элементов в соответ-ствии с иерархической схемой вычисления: а) определить совокупность используемых элементов с одним и двумя входами; б) выделить подформулы, имеющие в суперпозиции больше одного вхождения; в) осуществить необходимое соединение элементов
6	Используя диаграммы Венна, определить число элементов подмножества данного универсального множества	1. Представить соотношения между множествами, заданными в условии диаграммой Венна : универсальное множество U и его подмножества в общем положении, образующие разбиение множества U. 2. Обозначить заданную в условии численность подмножеств, составленных из элементов разбиения множества U. 3. Составить численные соотношения между заданными множествами. 4. Из полученных соотношений найти требуемое число