2. Виды средних величин.

Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.

Величина средней дает обобщающую количественную характеристику всей совокупности и характеризует ее в отношении данного признака.

Так, например, средняя заработная плата дает обобщающую количественную характеристику состояния оплаты труда рассматриваемой совокупности работников. Кроме того, используя средние величины, имеется возможность сопоставлять различные информационные совокупности. Так, например, можно сравнивать различные организации по уровню производительности труда, а также по уровню фондоотдачи, материалоотдачи и по другим показателям.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения, вызванные основным фактором.

Статистическая обработка методом средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака х₁,х₂,х₃….х_n некоторой уравновешенной средней величиной х.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние:

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Структурные средние:

Мода

Медиана.

Тема. Свойства средней арифметической.

1. Свойства средней арифметической.

2. Применение других видов средних величин.

1. Свойства средней арифметической.

Знание некоторых математических свойств средней арифметической полезно при её использовании и расчете.

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю. Примечание. Для взвешенной средней сумма взвешенных отклонений равна нулю.

Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на одно число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз. Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в m раз, произвести расчет и результат умножить на m.

Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого индивидуального значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшиться на это же число.

Это свойство используется при расчете средней величины из многозначных слабо варьирующих значений признака.

Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

Используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель, либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения.

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

2.Применение других видов средних величин

1. Средняя квадратическая равна корню квадратному из средней арифметической квадратов значений признака:

.

Данный вид средней используется, если при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин. Квадратическая средняя применяется для измерения вариации в совокупности.

2. Средняя геометрическая:

.

Геометрическую среднюю надо применять, если при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин. Основное применение этот вид средних находит при определении средних темпов роста.

3. Средняя гармоническая:

.

Данный вид средней применяют, если необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака. Эта формула применяется в задачах о средних ценах, средней скорости движения транспорта и других.

Соотношение между средними: чем выше показатель степени средней, тем больше значение средней величины (если индивидуальные значения варьируют). Имеем соотношение, называемое правилом мажорантности средних:

Х гарм < Х геом < Х арифм < Х куб.