1.Такое уравнение преобразуется по Лапласу

(T₀²s² + T₁ s + 1) Y(s) = k(s+ 1) X(s) , (3.5)

откуда и получаем отношение изображенияY(s) выходного процесса к изображению X(s) входного процесса, называемое передаточной функцией, являющейся наиболее полным описанием динамики систем,

. (3.6)

Из теории случайных процессов известно, что в частотной области для комплексного описания передаточной функции существует зависимость между спектральными плотностями входа и выхода системы:

, (3.7)

где  - частота входного воздействия.

Разделим в комплексном выражении (3.2) вещественную M и мнимую N части или модуль (амплитуду) R и фазу 

W(i) = M() + iN() = R () e^-() , (3.8)

где , а .

Теперь найденную характеристику можно изобразить графически (рисунок 1) в прямоугольных или в полярных координатах и оценить устойчивость системы известными методами.

.

а) вещественная М и мнимая N; б) амплитудно-фазовая

Рисунок 1 Частотные характеристики динамических систем

Вычисления взаимной спектральной плотности S_xy () сложны и требуют синхронной записи входа и выхода, что связано с определенными трудностями. Поэтому на практике для анализа динамики чаще используют более простые операторы.

Амплитудно-частотную характеристику (рисунок 2), выделяющую диапазоны частот, при которых объект (как фильтр) очень мало или наоборот интенсивно преобразует (усиливает) амплитуды входного процесса, без учета фазового сдвига

. (3.9)

Рисунок 2 Вид амплитудно-частотной характеристики

в сравнении с идеальным фильтром (ИФ)

По этой характеристике можно установить диапазоны частот, при которых входной сигнал воспроизводится на выходе с небольшим ослаблением (₁ и ₃ на рисунке) или с усилением - ₂ , и частоту “среза” - _с, при которой сигнал ослабляется почти в 10 раз, а еще более высокие частоты не воспроизводятся.

Показатель сглаживания в форме отношения "времени корреляции" выходного и входного процессов, используемый для сравнительной оценки стабилизационных возможностей объектов исследования

, (3.10)

где = - мера плавности (крутизны) протекания процесса, определяемая как площадь под кривой нормированной автокорреляционной функции до ее затухания (рисунок 3).

Рисунок 3 Оценка "времени корреляции"

входного (а) и выходного (б) процессов

В наших работах использовался упрощенный прием получения передаточной функции с помощью вспомогательных выражений, найденных по автокорреляционным функциям входа и выхода процессов без их синхронной записи.

2. Методические положения

По имеющимся записям реализаций случайных процессов и вычисленным в лабораторной работе «Проведение экспериментальных исследований и регистрация данных с использованием информационно-измерительного комплекса» статистическим характеристикам необходимо определить операторы вида (3.9) и (3.10), а также постоянные коэффициенты, входящие в формулу (3.6) передаточной функции системы. В качестве вариантов входного и выходного процессов, по указанию преподавателя, принимается одна из пар реализаций, полученных в работе «Проведение экспериментальных исследований и регистрация данных с использованием информационно-измерительного комплекса».