Лекция II Растяжение и сжатие.

Растяжением будем называть такое нагружение стержня, когда в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор – нормальная сила.

Для того чтобы возникло растяжение необходимо, чтобы внешние силы, приложенные по торцам стержня, были статически эквивалентны сосредоточенной силе, приложенной по оси стержня.

Схематизируя силы, приложенные к стержню, мы используем принцип Сен-Венана, который в данном конкретном случае примет следующий вид: “Способ приложения нагрузки не сказывается в сечениях достаточно удаленных от места приложения нагрузки”.

Н апример, стержень одной и той же длины и сечения загружается разным образом. В первом случае имеется закладная головка, которая помещена в захваты испытательной машины, во втором случае она представляет собой равнодействующую давления со стороны болта или заклепки. Безусловно, что характер распределения напряжений в месте передачи нагрузки, совершенно различный и весьма сложный. Однако, на расстояниях равных примерно характерному размеру поперечного сечения, индивидуальности в передачи нагрузки не сказываются, и для обоих случаев может быть принята одна и та же расчетная схема: Стержень загружен по торцам сосредоточенными силами, направленными по оси.

Параллельно с растяжением мы будем рассматривать и случай сжатия, отличая его от растяжения лишь знаком нормальной силы и напряжения. Но в данной лекции мы будем рассматривать сжатие коротких стержней, длина которых не превышает нескольких размеров поперечного сечения.

Однородное растяжение.

П редставим себе случай, что по торцам стержня приложены равномерно распределенные силы. Тогда в любом поперечном сечении напряжения будут направлены по нормали и будут постоянны во всех точках. Напряженное состояние будет однородным, т.е. одинаковым во всех точках стержня.

Напряжения при растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержень, растянутый по торцам силами.

О пределим в некотором произвольном сечении нормальную силу и напряжения. Воспользуемся методом сечений, рассечем стержень на две части и рассмотрим равновесие одной из них. Очевидно, что нормальная сила .

Далее, используя принцип Сен-Венана, приходим к выводу,

ч то напряженное состояние должно быть точно таким же, как и в случае однородного растяжения, рассмотренном выше. Таким образом, если - площадь поперечного сечения стержня, то при равномерном характере распределения напряжений. - нормальная сила равна

При растяжении (сжатии) нормальные напряжения распреде-

лены по сечению равномерно и равняются нормальной силе, деленной на площадь поперечного сечения. (1)

Нормальным силам и напряжениям предписывается знак: при растяжении плюс, при сжатии минус.

Деформированное состояние при растяжении и сжатии.

Т.к. напряженное состояние однородно, то однородным будет и деформированное состояние. Любой элемент объема будет деформироваться одинаково. Поперечные сечения стержня останутся плоскими, и будут удаляться друг от друга при растяжении и сближаться при сжатии. Этот факт можно положить в основу всей теории и сформулировать как гипотезу плоских сечений: сечения плоские и нормальные к оси до деформации остаются плоскими и нормальными к оси после деформации.

Определим удлинения и деформации, возникающие в стержне.

П усть - длина стержня до деформации, - длина стержня после деформации. Величину называют продольным удлинением. Т.к. деформированное состояние однородно, то деформация не зависит от базы измерения. Деформация в направлении оси стержня равняется: (2) Эта величина называется относительным удлинением стержня.

Продольная деформация ( в направлении оси стержня) сопровождается поперечной: , где

- характерный размер поперечного сечения до деформации;

- то же самое после деформации.

Знаки продольной и поперечной деформаций противоположны. Продольное удлинение сопровождается уменьшение поперечных

размеров и наоборот.

Отношение деформации поперечной к деформации продольной есть для данного материала величина постоянная, называется коэффициентом Пуассона.

Оценим величину коэффициента Пуассона. При растяжении стержня его длина увеличилась в отношении , а линейные размеры сечения уменьшились в отношении , следовательно, площадь поперечного сечения уменьшилась в отношении . Относительное изменение объема равно:

Т.к. деформации малы, то удержим в выражении лишь их первые степени . Т.к. при растяжении объем должен увеличиться, то т.е.

коэффициент Пуассона по величине не превышает .

Для сталей эта величина колеблется в пределах 0,25 – 0,35.