Изгиб стержня прямоугольного сечения при идеальном упруго-пластичном материале.

Пусть материал следует диаграмме идеального упругопластического материала. Связь между напряжениями и деформациями в этом случае выглядит

1) при (закон Гука)

2) при

Подставим эти выражения в интеграл (5)

учтем, что тогда подставим в (4)

Напомним, что тогда (6) можно выразить (учтя также ):

Решим (7) относительно кривизны

Анализируя (7), мы видим, что наибольшее значение момента не превышает величины: , которую назовем предель-

ным моментом. Это значение соответствует полному переходу сечения в пластическое состояние.

О днако, для того чтобы момент достиг предельного значения, как показывает (8) кривизна должна обратиться в бесконечность, что конечно невозможно. Таким образом, величина в действительности не может быть достигнута.

Величина называется пластическим моментом сопротивления (сравним с моментом сопротивления ).

Разумеется, что формула (8), выведенная в предположении,

что балка работает в упруго-пластической стадии, неприменима при малых значениях момента, соответствующих упругой работе.

Значение в (8) должно находиться в пределах

Лекция XVII Предельное равновесие балок.

Во всех случаях, рассмотренных ниже мы будем полагать, что материал следует диаграмме идеального упруго-пластического материала.

Предельное состояние сечения балки.

В прошлой лекции мы научились находить величину предельного момента для прямоугольного сечения. Найдем величину предельного момента, т.е. момента, соответствующего переходу всего сечения в пластическое состояние для произвольного сечения, имеющего одну ось симметрии (ось ). Напомним, что в действительности предельный момент не может быть реализован. Пусть материал по разному работает на растяжение и сжатие и предел текучести при растяжении, а - предел текучести при сжатии.

Р ассмотрим сечение, полностью перешедшее в пластическое состояние.

Положение нейтральной оси ( ) в предельном состоянии найдем из равенства нулю проекций сил, действующих в сечении на ось балки:

если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то

и условие выглядит:

Предельный момент в сечении равен

, где

и статические моменты растянутой и сжатой зоны сечения

относительно оси .

Если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то

Величину называется пластическим моментом сопротивления.

Если ось - ось симметрии, то нейтральная ось совпадает с ней и где - статический момент половины сечения относительно нейтральной оси.

Итак!

Когда момент в сечении достигает значения , то сечение не способно воспринимать возрастающую нагрузку и ведет себя как шарнир, называемый пластическим шарниром. Этот шарнир характерен следующим:

а) Он односторонний и при уменьшении нагрузки закрывается.

б ) В нем действуют две противоположно направленные пары с моментами равными

Введение пластического шарнира означает идеализацию картины распространения пластических деформаций в балке при поперечном изгибе. Пластическая зона распространяется по длине балки (см. предыдущую лек-

ц ию), а допуская, что в сечении возник пластический шарнир, мы ограничиваем зону текучести одним сечением.