1.5. Основные свойства параллельного проецирования

1. Проекция точки есть точка. Это следует из самого. процесса (операций) проецирования.

2. Проекция прямой в общем случае есть прямая (рис. 1.4.). Для построения ортогональной проекции прямой l (A,B) проводятся два проецирующих луча а и b параллельно направлению проецирования s. Они параллельны между собой и определяют плоскость , которая пересекается с плоскостью проекций П по прямой l. В символах: П = l.

3. 

   Рис.1.4

   Свойство параллельности. Если прямые в пространстве параллельны, то параллельны и их проекции. (рис. 1.4.). На рисунке видим, что прямая l с лучами а и b и прямая m с лучами c и d образуют соответственно две параллельные плоскости  и . () Пlm.

4. 

   Рис.1.5

   Если прямая совпадает с направлением проецирования, то её проекция вырождается в точку и такая прямая называется проецирующей (рис. 1.5.).

5. Плоскость в общем случае проецируется полем множества точек. Но если плоскость совпадает с направлением проецирования, то её проекция вырождается в прямую линию, как это видно по рис. 1.4. на примере плоскости  или .

6. Отношение длин отрезков двух параллельных прямых равно отношению длин их проекций (см. рис. 1.4.). Треугольник АА*В подобен треугольнику СС*D, как треугольник со взаимно параллельными сторонами, поэтому

А В А*В А*В = АВ, и АВ АВ

С D C*D C*D = CD следовательно CD CD.

7. Свойство принадлежности. Если точка лежит на прямой, то ее проекция принадлежит проекции данной прямой, что видно на том же рис. 1.4.

8. При параллельном переносе плоскости проекций проекция фигуры не меняется (рис. 1.6.).

АА=ВВ=СС и параллельны, следовательно, АВВА, ВССВ и СААС являются параллелограммами, у которых противоположные стороны, как известно, равны. Поэтому АВ=АВ,ВС=ВС,СА=САт.е. АВС=АВС.

1 .6. Способы дополнения однопроекционного изображения

Проекционные изображения, используемые в технической документации, должны отвечать следующим основным требованиям:

• быть обратимыми, т.е. метрически определимыми, чтобы по ним можно было определить форму и размеры предмета и затем изготовить его;

• быть наглядными, т.е. такими, чтобы по ним можно было легко представить изображенный предмет;

• обладать относительной простотой графического выполнения.

Рассмотренный выше способ проецирования на одну плоскость проекций дает возможность решить задачу - имея предмет, найти его проекцию, но не позволяет решить обратную задачу - имея проекцию, определить форму и размеры предмета. Например, имея проекцию А, нельзя определить положение самой точки А в пространстве, так как неизвестно удаление её от плоскости проекций П.

Наличие одной проекции создаёт неопределенность изображения. Такие изображения должны содержать дополнительные данные, чтобы по ним можно было определить оригинал.

В практике нашли применение четыре способа дополнения однопроекционного изображения: проекция с числовыми отметками, “федоровские проекции”, аксонометрические проекции, комплексные проекции. Дадим некоторые пояснения названным способам.

Способ проекции с числовыми отметками основан на том, что для каждой точки предмета на плоскости проекций дополнительно указывают в скобках величину её удаления (в определенных единицах) от заданной плоскости проекций. Например, проекция точки С на плоскость П - С (4) обозначает, что точка С удалена от её проекции С, или плоскости проекций, на расстоянии 4 м (единица измерения, к примеру, метр).

Академик Е.С. Федоров предложил изображать высоты точек предмета при помощи параллельных отрезков. Начало отрезка - в проекции соответствующей точки. Длина отрезка с учетом масштаба равна высоте точки. Этот и предыдущий способы изображения находят применения в картографии, при проектировании дорог, в геологии и т.п.

Способ аксонометрического изображения заключается в проецировании предмета вместе с координатной системой, к которой он отнесен, на одну плоскость проекций. Координатные оси предмета выступают в качестве аксонометрических осей, с помощью которых и осуществляется построение проекций. Аксонометрическое изображение предмета обладает большой наглядностью, так как представляется в виде рисунка. Более подробно этот способ изображения будет рассмотрен в конце лекционного курса.

Способ комплексного проецирования основан на проецировании предмета на две или более плоскостей проекций, которые расположены взаимно перпендикулярно. Для того чтобы “увидеть” предмет при этом, необходимо мысленно соединить имеющиеся изображения. Этот способ является основным при выполнении технических чертежей. На нем мы остановимся подробно в следующей лекции.

Вопросы для самопроверки к лекции 1:

1. Назовите цели и задачи предмета начертательной геометрии.

2. Что входит в аппарат проецирования?

3. Назовите виды проецирования. В чем заключается их различие?

4. Изложите основные свойства параллельного проецирования.

5. Какими способами добиваются обратимости чертежа?

ЛЕКЦИЯ 2.