12.1. Способ вспомогательных плоскостей

Способ вспомогательных плоскостей применяется для построения линии пересечения таких пар поверхностей, которые пересекаются с семейством посредников по графически простым линиям (прямым и окружностям). Такие пары поверхностей составляют:

• две плоскости;

• плоскость и поверхность многогранника;

• две многогранные поверхности;

• плоскость и линейчатая поверхность;

• плоскость и поверхность вращения;

• две поверхности вращения с параллельными осями;

• две конические, коническая и цилиндрическая, две цилиндрические поверхности;

• две линейчатые поверхности с общей плоскостью параллелизма и некоторые другие пары поверхностей.

Некоторые примеры с плоскостями и гранными поверхностями мы рассмотрели ранее. Остановимся на примерах с криволинейными поверхностями.

Пример 1. Построить линию пересечения конической поверхности вращения Ф (i,m) со сферой r) (рис. 12.1).

Рис.12.1

Обе поверхности в качестве горизонталей со-держат семейства окружностей, поэтому в качестве посредника мы примем горизонтальные плоскости уровня Гi.

Экстремальные (выс-шая и низшая) точки А,В линии пересечения определяются проведением общей плоскости симметрии i,O) данных поверхностей. Точками видимости на П₂ будут эти же точки, так как они принадлежат очерковым линиям поверхности конуса и сферы на П₂. Точки видимости D₁,D₁ на П₁ определяются проведением посредника Г, проходящего через центр сферы. В этом случае плоскость Г пересекает сферу по окружности d, проекция d₁ которой на П₁ будет очерковой.

Случайные точки 1,1 и 2, 2 линии пересечения l определяются проведением горизонтальных плоскостей уровня Г и Г: Гq d qd Гq Гd qd

Так как общая плоскость симметрии  данных поверхностей параллельна П₂ то на П₂ видимая и невидимая ветви проекции l₂ линии пересечения совпадают. На П₁ проекция дуги DАD линии пересечения видима, а проекция дуги DВD - невидима; в точках D₁,D_ горизонтальная проекция l₁ линии пересечения касается очерковой линии d₁ сферы.

Рис.12.2

П ример 2. Построить линию пересечения l отсеков конических поверхностей Ф(S,а), S,b), направляющие а, b которых принадлежат одной плоскости Г (рис. 12.2).

Задачу решим способом вращающейся плоскости. Этот способ применяется для построения линии пересечения двух конических, конической и цилиндрической, двух цилиндрических поверхностей. Способ состоит в том, что множество (пучек) плоскостей - посредников ⁱ проходящих, через вершины S,S данных конических поверхностей Ф,  пересекает последние по образующим. При этом прямая s=S  S является осью пучка плоскостей - посредников. Очевидно, название способа связано с кинематическим образованием пучка плоскостей ⁱ, проходящих через фиксированную прямую s.

Порядок решения поставленной задачи будет следующим:

1. Строим прямую s=S  S и находим точку М ее пересечение с плоскостью Г направляющих а,b данных конических поверхностей.

2. Находим экстремальные точки LL_L_ и LL_L_ линии пересечения l(l₁,l₂). Для этого в плоскости Г через точку М проводим такие прямые mm которые проходили бы через концы дуги одной направляющей и пересекли бы вторую направляющую. В нашем случае А=ma, А=ma. Прямые mm (плоскости sm sm задают пределы изменения положения посредника ⁱ. Плоскость  пересекает коническую поверхность Ф по граничной образующей SА а поверхность - по образующей SВ. Точка LSАSВ пересечения этих образующих определяет одну из экстремальных точек L Аналогично определяется вторая экстремальная точка L

3. Строим случайные точки линии пересечения. Для этого угол m_M₁m_ делим на несколько частей прямыми mⁱ₁ (на рис. 12.2 показана одна из таких прямых m₁ Плоскость посредник sm) пересекает конические поверхности Ф, соответственно по образующим SA(S₁A₁, S₂A₂), SB(S_B₁, S_B₂), где A=a(A₁=m₁a₁), B=b(B₁=m₁b₁). Точка L(L₁,L₂) пересечения прямых SA,SB будет случайной точкой искомой линии l пересечения конических поверхностей Ф, .

4. Определяем видимость на П₁ с помощью конкурирующих точек 1,2, а на П₂ - точек 3,4.