10. Поверхности вращения

10.1. Определение и термины

В природе существует множество тел вращения: планеты и звезды, детали машин и механизмов, предметы быта.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением некоторой линии (образующей) вокруг неподвижной оси.

Поверхность вращения однозначно определяется осью i и образующей l. Поэтому ее определитель записывается так: Ф(i,l).

Рис.10.1

Н а чертеже поверхность вращения Ф(i,l) задается проекциями оси i и образующей l (рис.10.1).

Построение проекции точки АФ целесообразно выполнять проведением окружности m, полученной сечением поверхности Ф плоскостью Г, перпендикулярной ее оси i. Окружность m определяется центром О=iГ и радиусом r=O₁L₁, где L=lГ.

Сечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными ее оси, называются параллелями. Параллель с наибольшим радиусом называется экватором. Параллель с наименьшим радиусом называется горловой окружностью (горловинной).

Сечения поверхности вращения плоскостями, проходящими через ее ось, называются меридианами. Меридиан, принадлежащий плоскости уровня, называется главным.

Семейство параллелей и меридианов образуют сетчатый каркас поверхности вращения. Через произвольную точку А поверхности вращения проходят единственные параллель и меридиан, пересекающиеся под прямым углом.

Если образующая l - алгебраическая кривая, то поверхность вращения Ф(i,l) также будет алгебраической. Порядок поверхности вращения зависит от порядка ее образующей.

10.2. Поверхности, образованные вращением прямой линии

При вращении прямой l вокруг второй прямой i (оси вращения) образуется линейчатая поверхность вращения второго порядка:

если li - коническая поверхность вращения,

если li -цилиндрическая поверхность вращения.

если li - однополостный гиперболоид вращения.

Первые две поверхности известны из программы средней школы. Поэтому остановимся на изображении гиперболической поверхности.

Пример. Построить главный меридиан однополостного гиперболоида вращения Ф(i,l)(рис. 10.2)

Главный меридиан m строится как множество точек 1,1;2,2;..... пересечения параллелей, описываемых точками 1.2.... образующей l, с плоскостью i главного меридиана. При этом точка 1 образующей l, ближайшая к оси вращения i, описывает горловую окружность q. Однополостный гиперболоид симметричен относительно плоскости горловой окруж-

Рис.10.2

н ости q. Поэтому для построения точек главного меридиана достаточно взять точки на половине прямой l.

Однополостный гиперболоид Ф содержит два семейства прямолинейных образующих - последовательных положений образующей l и симметричной ей прямой l¹. Очевидно, образующие одного семейства между собой не пересекаются, а образующие разных семейств пересекаются между собой. Это свойство образующих однополостных гиперболоидов было использовано талантливым русским инженером, почетным членом Академии наук СССР Шуховым В.Г. (1853-1939 гг.) для проектирования легких и жестких конструкций радиомачт, башен, градирен и т.д.