8.2. Прямоугольные проекции кривых линий

Для построения ортогональных проекций кривой (пространственной или плоской) необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих этой кривой, и соединить между собой одноименные проекции в той же последовательности, в какой они располагаются на оригинале. При задании пространственной кривой ее проекциями необходимо указать по крайней мере проекции одной точки, принадлежащей этой кривой. Действительно, если на проекциях кривой l (рис. 8.4) не указать проекции точки А (А₁,А₂), то по одним только проекциям l₁ и l₂ нельзя судить о форме кривой.

Рис.8.4

С ледует также иметь в виду, что по двум ортогональным проекциям кривой нельзя сразу ответить на вопрос о том, какой кривой (плоской или пространственной кривой) соответствуют данные проекции. Чтобы выяснить какая линия задана на эпюре, необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости: если принадлежат - кривая плоская, в противном случае - пространственная.

На основе свойств параллельного проецирования можно установить, какие свойства проекций сохраняются для кривых линий. К таким свойствам можно отнести следующие:

1. Проекцией кривой в общем случае является кривая, при этом порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой.

2. Секущая и касательная к кривой линии проецируются также в общем случае соответственно в секущую и касательную к ее проекции, при этом сохраняется число точек пересечения секущей с кривой.

3. Число узловых точек (точек, в которых кривая пересекает саму себя) на проекции кривой равно числу узловых точек самой кривой.

4. Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее проекции.

8.2.1. Прямоугольная проекция окружности

При выполнении машиностроительных чертежей часто возникает необходимость построения прямоугольных проекций окружности.

Если окружность лежит в плоскости уровня, то, естественно, она проецируется на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, а на другую плоскость проекций - в отрезок, совпадающий с вырожденной проекцией плоскости.

Рис.8.5

Е сли окружность лежит в проецирующей плоскости, то одна ее проекция вырождается в отрезок, равный диаметру заданной окружности, и совпадает с вырожденной плоскостью, вторая проекция - эллипс (рис. 8.5).. Построение проекции окружности l, заданного диаметра d, лежащей во фронтально проецирующей плоскости, расположенной под углом 45 к П₁ ясно из чертежа.

На П₂ отрезок С₂D₂ равен d. На П₁ эллипс l₁ строим известным способом с помощью окружностей радиусами малой и большой полуоси эллипса, делением окружностей диаметральными линиями и получением точек Мⁱ.

Окружность, лежащая в плоскости общего положения, проецируется на обе плоскости проекций в эллипсы.

Рис.8.6

П ример. Построить проекции l₁, l₂ окружности l(О,R), лежащей в плоскости hf), где О=hf (рис. 8.6).

Отметим, что большие оси эллипсов l₁,l₂ принадлежат линиям уровня, соответственно горизонтали h и фронтали f и по величине равны диаметру окружности l. Поэтому большую ось А₁В₁ эллипса l₁ на П₁ откладываем на горизонтальной проекции горизонтали h₁, а большую ось М₂N₂ эллипса l₂ - на фронтальной проекции фронтали f₂. Вторые проекции А₂В₂, М₁,N₁ находим из условий принадлежности соответственно точек А,В,М,N горизонтали и фронтали.

Для построения малых осей С₁Д₁ и Р₂Q₂ проводим прямые n₁А₁В₁, m₂М₂N₂. Эллипс l₁ теперь определен большой осью А₁В₁, направлением n₁ малой оси и двумя точками М₁,N₁. Этих условий достаточно для графического определения величины его малой оси:

• через точку М₁ искомого эллипса l₁ проводим прямые, параллельные А₁В₁ и n₁;

• отмечаем точку 2 пересечения прямой, параллельной n₁, с окружностью , описанной на А₁В₁, как на диаметре;

• отмечаем точку 1=0₁2М₁1 и получаем отрезок 0₁1, определяющий величину малой полуоси эллипса l₁.

Аналогично определяется величина малой полуоси эллипса l₂ - фронтальной проекции окружности l.