4.5. Взаимное пересечение многогранников

Две многогранные поверхности в общем случае пересекаются по пространственной замкнутой ломаной линии. В частных случаях эта ломаная может распадаться на две и более замкнутые ломаные линии. Вершинами ломаной являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Стороны ломаной представляют собой отрезки прямых, по которым пересекаются грани многогранников.

Отсюда следует два способа построения линии пересечения поверхностей многогранников: способ ребер и способ граней. Выбор одного из этих способов или их комбинаций зависит от свойств данных многогранников.

Рис.4.5

Р ассмотрим один из примеров. Построить линию пересечения поверхностей горизонтально проецирующей трехгранной призмы и трехгранной пирамиды (рис. 4.5.). Так как боковые грани призмы являются горизон-тально проециру-ющими плоскостями, то определение точек пересечения ребер SA, SB, SC пирамиды с гранями призмы выпоняется просто: горизонтальные проекции этих точек получаются в результате пересечения горизонтальных проекций указанных ребер с вырожденными проекциями граней призмы.

У призмы боковое ребро ММ^ пересекается с поверхностью пирамиды. Для определения точек ее пересечения с поверхностью пирамиды через их проекции 6₁,8₁ на П₁ проводим вспомогательные прямые S9 и S10, соответственно принадлежащие граням SAB и SAC, которые пересекаясь на П₂ с ребром ММ^, определяют недостающие проекции вершин 6,8 (6₂,8₂) искомой линии пересечения. Эта искомая линия, как видим, состоит из двух замкнутых линий 1231 и 456784.

Вопросы для самопроверки к лекции 4:

1. Какие многогранники Вы знаете?

2. Чем руководствоваться при определении видимости с ребер многогранника?

3. Как можно построить сечение многогранника плоскостью?

4. Каков алгоритм нахождения точек пересечения многогранника с прямой линией?

ЛЕКЦИЯ 5

5. Метрические задачи

Помимо позиционных задач, рассматривающих лишь относительное расположение фигур в пространстве, в инженерной практике часто приходится решать задачи, в которых выясняются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной величины плоских фигур, определение расстояний и др. Такие задачи называют метрическими задачами. Их решение сводится к решению простейших (базовых) задач. К ним в первую очередь следует отнести:

• определение натуральной величины отрезка, заданного своими проекциями;

• построение проекций прямых, перпендикулярных друг другу и прямой, перпендикулярной данной плоскости.

Поэтому изложение теории и алгоритмов решения метрических задач начнем с рассмотрения сформулированных задач.

1. Определение натуральной величины отрезка

Определение натуральной величины отрезка прямой проведем одним из способов, способом прямоугольного треугольника.

Рассмотрим вначале пример с проекцией отрезка АВ на плоскость П₁, изображенной на рисунке модели (рис. 5.1.). Спроецируем отрезок на плоскость ортогонально. Для упрощения рассуждений пусть один конец отрезка (например, точка А) совпадает с плоскостью П₁, тогда А₁А. В₁ получается при пересечении проецирующего луча, проведенного из точки В перпендикулярного П₁. Соединив проекции точек А и В получим отрезок А₁В₁ и теперь рассмотрим  А₁ВВ₁. Он прямоугольный, у него один катет проекция отрезка (А₁В₁), другой ВВ₁, разность высот точек А и В относительно плоскости П₁. Гипотенуза треугольника есть сам отрезок АВ, т.е. его натур альная величина. Угол  есть угол наклона (его натуральная величина) отрезка АВ к плоскости П₁.

Рис.5.1

Т аким образом натуральная величина отрезка на эпюре является гипотенузой построенного прямоугольного треугольника, у которого одним из катетов будет любая из проекций отрезка, вторым катетом соответственно высота или глубина одного из концов отрезка относительно другого.

Рис.5.2

На рис. 5.2  h и f соответственно разность высот и глубин проекций точек А и В. А₁В* или А₂В* является натуральной величиной (Н.в.) отрезка АВ.

Попутно при решении основной задачи в рассматриваемом примере находим углы наклона отрезка к плоскостям проекций:  - к П₁, - к П₂.